代數簇及其方程。

代數幾何是兩種數學分支的融合，一端是代數——關于方程的研究，另一端是幾何——關于形狀的研究。代數幾何所做的就是將抽象的代數中解決問題的方法應用到幾何中復雜而具體的形狀、曲面、空間和曲線。

代數幾何的基本問題是對一組多項式方程的解集進行分類，簡單說來就是對空間進行分類。其研究的基本對象名為代數簇（Algebraic variety），也就是多項式方程組的解集的幾何表示。

而法諾簇（Fano variety）是一類重要的代數簇。從某種意義上說，它們是數學形狀的「原子片段」（Atomic pieces）。法諾簇在弦理論中也起著重要的作用。

法諾簇是幾何形狀的基本構建塊，它們是數學形狀的「原子塊」。法諾簇分類的最新進展包括分析一個稱為量子周期（Quantum period）的不變性。這是一系列整數，為法諾簇提供了數值指紋。據推測，法諾簇是由其量子周期唯一決定的。如果這是真的，則應該能夠直接從其量子周期恢復法諾簇的幾何特性。

近日，來自諾丁漢大學（University of Nottingham）和倫敦帝國學院（Imperial College London）的數學家首次使用機器學習來擴展和加速識別「原子形狀」（Atomic shapes）的研究，這些「原子形狀」構成了更高維度的基本幾何形狀。

具體而言，研究人員將機器學習應用于一個問題：X 的量子周期是否知道 X 的維度？請注意，尚無對此的理論理解。研究表明，簡單的前饋神經網絡可以以 98％ 的精度確定 X 的維度。在此基礎上，研究人員在一類法諾簇的量子周期內建立了嚴格的漸近性。這些漸近性決定了 X 的量子周期的維度。結果表明，在缺乏理論理解的情況下，機器學習可以從復雜的數學數據中挑選結構。他們還為猜想提供了積極的證據，即法諾簇的量子周期決定了多樣性。

該研究以《Machine learning the dimension of a Fano variety》為題，于 2023 年 9 月 8 日發布在《Nature Communications》上。

論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-023-41157-1

該研究小組幾年前就開始了創建形狀元素周期表的研究。原子碎片被稱為法諾簇。該團隊將一組稱為量子周期的數字序列與每個形狀聯系起來，給出描述形狀的「條形碼」或「指紋」。他們最近的突破使用了一種新的機器學習方法來快速篩選這些條形碼，從而識別形狀及其屬性，例如每個形狀的尺寸。

Alexander Kasprzyk 說：「對于數學家來說，關鍵步驟是確定在給定問題中的模式。這可能非常困難，一些數學理論可能需要數年的時間才能發現。」

Tom Coates 教授說：「這是人工智能可以真正徹底改變數學的地方，因為我們已經證明機器學習是在代數和幾何等復雜領域中發現模式的強大工具。」

Sara Veneziale 說：「我們對可以在純數學中使用機器學習的事實感到非常興奮。這將加速整個領域的新見解。」

總之，該研究表明，機器學習可以在復雜的數學數據中發現以前未知的結構，并且是開發嚴格數學結果的強大工具。它還提供了法諾簇程序中基本猜想的證據：法諾簇的正則量子周期決定了這種變化。