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陶哲軒新論文:部分證明著名素數(shù)猜想,新方法用到了自己的舊模型

人工智能 新聞
它證明了著名數(shù)學(xué)家埃爾德什·帕爾(Erd?s Pál)提出的一個交錯素數(shù)級數(shù)猜想,在哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想成立的條件下,是成立的。

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陶哲軒又發(fā)新論文了!

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這也是時隔一年,他再次獨立發(fā)表新論文。(arXiv顯示上一篇獨作論文發(fā)表時間是在去年2月)

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這篇新論文依舊與陶哲軒鉆研的數(shù)論領(lǐng)域有關(guān)。

它證明了著名數(shù)學(xué)家埃爾德什·帕爾(Erd?s Pál)提出的一個交錯素數(shù)級數(shù)猜想,在哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想成立的條件下,是成立的。

(當(dāng)然,哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想也是一個懸而未解的猜想,因此這項研究只是部分證明,并沒有完全解決)

這項研究,還用到了他在幾年前與合作者共同提出的一個素數(shù)隨機模型。

一起來看看。

證明了什么樣的猜想?

核心來說,這篇新論文要證明的,是埃爾德什提出的一個關(guān)于交錯素數(shù)級數(shù)收斂性的猜想。

這個猜想與一個長這樣的交錯級數(shù)有關(guān),其中pn是第n個素數(shù):

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交錯級數(shù),指的是項的符號是正負(fù)交替、而數(shù)值絕對值單調(diào)遞減的無限級數(shù)。它的一般形式,大伙兒在學(xué)高數(shù)時應(yīng)該都見過:

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交錯級數(shù)并不一定收斂,因此需要具體級數(shù)具體判斷,這次陶哲軒證明的就是交錯級數(shù)中的一個特殊類型,即an是素數(shù)pn的倒數(shù),這個級數(shù)是收斂的。

不過,還有個前提條件——在哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想成立的條件下。

哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想,由英國科學(xué)家哈代和李特爾伍德提出,它預(yù)測了給定差值集合的k個素數(shù)出現(xiàn)的頻率。

猜想認(rèn)為,存在兩個絕對常數(shù)ε>0和C>0,對于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整數(shù)h1,…,hk組成的k元組圖片,這個式子成立:圖片

不過,這個猜想至今尚未解決。

這次陶哲軒直接在假設(shè)它成立的基礎(chǔ)上,證明了交錯素數(shù)級數(shù)收斂性猜想的成立。整個過程大約可以分為四步:

首先,基于Van der Corput差分定理來降低素數(shù)計數(shù)間隔的長度。

由于證明這個猜想,實際上需要估計區(qū)間[1,x]內(nèi)素數(shù)個數(shù)的奇偶性分布,因此使用差分定理的目的,能將它轉(zhuǎn)化為僅考慮較短區(qū)間內(nèi)素數(shù)個數(shù)奇偶性的問題。

轉(zhuǎn)化為這個問題之后,實際上就能用哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想來證明問題成立。

因此,接下來論文在假設(shè)哈代-李特爾伍德素數(shù)k元組猜想成立的基礎(chǔ)上,估計了短區(qū)間內(nèi)k個素數(shù)的概率。

然后,陶哲軒使用幾年前與兩位數(shù)學(xué)家William Banks和Kevin Ford共同建立的隨機素數(shù)模型,來建模素數(shù)分布。

最后基于這個模型建立的分布證明猜想。

這篇博客發(fā)出后不久,就有網(wǎng)友趕來點贊,表示自己也在從用另一種方法嘗試解決這個猜想:

點贊!

我3周前剛在Thomas Bloom的網(wǎng)頁上發(fā)現(xiàn)了這個猜想,不過只有這篇論文第一句話的內(nèi)容。

我從計算(computational)的角度嘗試搞定它。我把它看作是觀察每個結(jié)果的偶數(shù)和奇數(shù)索引之間的差異,然后嘗試進行曲線擬合,以確定差異可能為零的位置。

雖然不知道我的數(shù)據(jù)是否對解決這個問題有幫助,不過至少這提高了我的編程技能。

我還需要一些時間來消化你的論文,感謝!

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One More Thing

值得一提的是,2004年陶哲軒和本·格林(Ben Joseph Green)提出的著名格林-陶定理,也是基于埃爾德什·帕爾(Erd?s Pál)另一個更著名的等差數(shù)列猜想而來。

其中,埃爾德什等差數(shù)列猜想如下:

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格林-陶定理進一步將猜想范圍縮小到他們研究的素數(shù)范圍內(nèi),相當(dāng)于埃爾德什等差數(shù)列猜想的一個“特例”:

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埃爾德什為解決這個等差數(shù)列猜想懸賞了5000美元。

這些年除了陶哲軒以外,也有不少數(shù)學(xué)家致力于它的研究,例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他們在2020年,證明了整數(shù)無窮數(shù)列一定包含長度至少為三的等差數(shù)列,將這個問題又向前推進了一步。

感興趣的小伙伴們可以挑戰(zhàn)一下了(手動狗頭)

新論文地址:https://arxiv.org/abs/2308.07205

責(zé)任編輯:張燕妮 來源: 量子位
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