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數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的關(guān)系，一直是你中有我、我中有你。

計(jì)算機(jī)程序離不開數(shù)學(xué)，同時(shí)也給數(shù)學(xué)計(jì)算帶來便利。

國外知名科普網(wǎng)站Quanta Magazine，對(duì)2020年計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)這兩門學(xué)科的幾項(xiàng)重大突破，進(jìn)行了盤點(diǎn)。

這里面，有困擾了數(shù)學(xué)家50余年的謎題破解，也有AI與數(shù)學(xué)結(jié)合的身影。

當(dāng)然，兩名數(shù)學(xué)家疫情隔離期間，破解陶哲軒挑戰(zhàn)失敗的百年數(shù)學(xué)問題，也榜上有名。

一起來看看。

TOP1：“量子糾纏”重大突破

今年，計(jì)算機(jī)領(lǐng)域最重要的突破，是MIP*=RE的證明。

它的證明，意味著利用量子邏輯來計(jì)算的量子計(jì)算機(jī)（而非利用0和1進(jìn)行計(jì)算的經(jīng)典計(jì)算機(jī)），可以從理論上驗(yàn)證大量問題的答案。

來自悉尼科技大學(xué)、加州理工學(xué)院、德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校、和多倫多大學(xué)的五位計(jì)算機(jī)科學(xué)家，將研究成果聯(lián)名發(fā)表在了一篇叫做《MIP * = RE》的論文上。

這篇論文證明，由經(jīng)典驗(yàn)證與多個(gè)量子理論驗(yàn)證相互作用而確定的語言類別MIP，等同于遞歸可枚舉語言類RE。

也就是說，MIP*=RE多方交互式證明、加上量子糾纏的計(jì)算能力，給圖靈停機(jī)問題提供了一個(gè)思路。

對(duì)于這篇論文的結(jié)論，物理學(xué)家在里面看到Tsirelson的物理問題的答案，數(shù)學(xué)家在里面得到了Connes嵌入猜想的答案。

作者之一的Henry Yuen說道：“如同盲人摸象一樣，不同科學(xué)領(lǐng)域的人，領(lǐng)略到不同部分，雖然都是正確的，但是都還沒搞清楚大象的原貌。”

80年代，計(jì)算機(jī)科學(xué)家發(fā)明了交互證明理論和概率可驗(yàn)證明(PCP)，MIP* = RE則是經(jīng)典的PCP定理，能夠在量子糾纏的幫助下遞歸到無窮。

論文得出結(jié)論說，兩臺(tái)機(jī)器相互糾纏、相互驗(yàn)證，可以用于解決圖靈停機(jī)問題。同時(shí)，還證明了Connes嵌入猜想是錯(cuò)誤的。

他們還引用了經(jīng)典的兩個(gè)博弈互證游戲Bell / CHSH，兩者無窮無盡的糾纏驗(yàn)證，會(huì)提高游戲的勝率。所以最終問題，還是怎么讓這個(gè)糾纏驗(yàn)證的過程停止的問題。

此外，這篇論文的一作，是悉尼科技大學(xué)量子軟件與信息中心季錚鋒教授。

季錚鋒曾于2007年，獲得清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的博士學(xué)位。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2001.04383

TOP2：破解“康威扭結(jié)”

今年6月，英國著名數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）因患新冠肺炎逝世，留下一個(gè)困擾數(shù)學(xué)界50年的難題“康威扭結(jié)”（Conway Knot）。

在他逝世一個(gè)月之后，德州大學(xué)奧斯汀分校的一位博士小姐姐Lisa Piccirillo，花了一周的時(shí)間將其解決了。

多年來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了形形色色的扭結(jié)，這些結(jié)在拓?fù)鋵W(xué)上可切，但并不是平滑可切。然而，這些扭結(jié)的交叉都大于12。

而在交叉點(diǎn)數(shù)小于12的扭結(jié)中，只有康威結(jié)的切片狀態(tài)一直無法找到。

康威扭結(jié)是否平滑可切為何如此重要？

因?yàn)?strong>平滑可切的扭結(jié)，為數(shù)學(xué)家提供了一條探索四維空間奇特屬性的途徑。

所以，康威扭結(jié)是否為平滑可切，成為了扭結(jié)理論重大突破的硬性標(biāo)準(zhǔn)。

Lisa認(rèn)為，如果可以為康威扭結(jié)構(gòu)造一個(gè)相同跡的扭結(jié)，那么也許可以更好地與可切不變性配合使用。

于是，她設(shè)法構(gòu)造了一個(gè)復(fù)雜的扭結(jié)，它的跡與康威扭結(jié)相同。Lisa使用了一種叫做拉斯穆森S不變量（Rasmussen’s s-invariant）的工具。

結(jié)果顯示她構(gòu)造出來的扭結(jié)不是平滑可切的，因此推斷出，康威扭結(jié)也不是平滑可切的。

“這是一個(gè)非常美麗的證明。”數(shù)學(xué)家們紛紛贊嘆說。

閱讀延伸：
https://mp.weixin.qq.com/s/4wGmSxKGFVEqW_wdWWVtog

TOP3：參加IMO的AI

數(shù)學(xué)已經(jīng)有了數(shù)千年的發(fā)展歷史，而人類的記憶力有限，即使是一流的數(shù)學(xué)家，也記不住全部的數(shù)學(xué)公式和定理。

于是很多數(shù)學(xué)科學(xué)家轉(zhuǎn)向了“數(shù)學(xué)數(shù)字化”，將數(shù)千年累積的數(shù)學(xué)成果，建成一個(gè)數(shù)字圖書館。

在微軟的一個(gè)名為Lean的軟件程序上，數(shù)學(xué)家們建立了一個(gè)叫做Mathlib的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫，這個(gè)數(shù)據(jù)庫錄入了數(shù)學(xué)專業(yè)大二學(xué)生應(yīng)學(xué)到的所有知識(shí)。

他們將數(shù)學(xué)知識(shí)匯編成計(jì)算機(jī)語言，在龐大的數(shù)學(xué)公式定理庫基礎(chǔ)上，解決數(shù)學(xué)難題。

Lean做題的方法跟象棋、圍棋AI的算法相同，都是遵循決策樹，直到算法找到最優(yōu)解。

目前，Lean正在籌劃參加下一屆的IMO（國際奧數(shù)競賽），比賽結(jié)果尚未可知，也有不少人持悲觀結(jié)果態(tài)度。

但是AI做復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，是有特別成功案例的。

來自斯坦福大學(xué)、卡內(nèi)基梅隆大學(xué)、羅徹斯特理工學(xué)院的幾位計(jì)算機(jī)研究者，通過AI的方式，僅用40臺(tái)電腦、30分鐘就解決了困擾數(shù)學(xué)家90年之久的凱勒猜想。

閱讀延伸：
https://mp.weixin.qq.com/s/bDD6-KAwLWPFAdV8khfIRw

那么，這一年在數(shù)學(xué)和計(jì)算領(lǐng)域還有什么新的突破呢？

幾何學(xué)進(jìn)展

內(nèi)接方形問題

疫情期間，兩位被封閉在家的科學(xué)家Andrew Lobb和Joshua Greene覺得百無聊賴。

于是他們動(dòng)了動(dòng)手指，解決了一個(gè)困擾百年的數(shù)學(xué)問題，這個(gè)數(shù)學(xué)難題，連陶哲軒都挑戰(zhàn)失敗了。

這個(gè)問題是：任何簡單閉合環(huán)路，是否總能在其上找到四個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)任意長寬比矩形？

這個(gè)問題也叫做內(nèi)接方形問題，源自1911年。德國數(shù)學(xué)家Otto Toeplitz預(yù)測稱，任何簡單閉合曲線，都包含四個(gè)可以連接形成正方形的點(diǎn)。

這句話聽起來很簡單，但從古至今，多少數(shù)學(xué)家費(fèi)盡腦汁都沒有證明出來。

1977年，數(shù)學(xué)家Herbert Vaughan使用莫比烏斯帶解這個(gè)內(nèi)接矩形問題，取得了突破性的進(jìn)展。

他證明，在三維空間的任何閉合環(huán)路中，都至少存在這樣四個(gè)點(diǎn)，能夠構(gòu)成一個(gè)矩形。

天才數(shù)學(xué)家陶哲軒，使用積分方法，解決了特定情況下的內(nèi)接方形問題。

他用積分方法證明，在曲線由兩個(gè)常數(shù)小于 1 的 Lipschitz 圖形組成的這種特殊情況下，該曲線一定存在四個(gè)能組成正方形的點(diǎn)。

但是兩者都未證明：是否任意長寬比的矩形（包括正方形）都能存在。

在Andrew Lobb和Joshua Greene的方法中，他們將莫比烏斯帶嵌入四維辛空間中，證明了莫比烏斯帶可以嵌入到四維辛空間中而不相交。

這意味著每一個(gè)封閉的光滑曲線必須包含四個(gè)點(diǎn)的集合，這四個(gè)點(diǎn)可以連接在一起形成所有長寬比的矩形。

延伸閱讀：
https://mp.weixin.qq.com/s/E-I_3C-3m0KTI1XjYaKWcA

十二面體的新發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)家花了2000多年的時(shí)間，來研究正四、六、八、十二、二十面體，這些特殊形狀也叫做柏拉圖多面體。多年來，數(shù)學(xué)家仍對(duì)對(duì)它們知之甚少。

關(guān)于柏拉圖多面體一直有個(gè)思考，假設(shè)從柏拉圖立體的一個(gè)角出發(fā)，是否存在一條直線路徑，不用經(jīng)過其他角，就可以回到原來的角？

對(duì)于等邊三角形或者正方形組成的四面體、立方體、八面體、二十面體，科學(xué)家得出的具體結(jié)論是：不存在。必須經(jīng)過其他角，否則永遠(yuǎn)回不到出發(fā)點(diǎn)。

然而正十二面體是由五邊形組成，是否也符合這個(gè)定理？

Jayadev Athreya，David Aulicino和Patrick Hooper在《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》雜志上發(fā)表了關(guān)于十二面體的研究。

他們認(rèn)為，由于正十二面體由五邊形組成，五邊形和正十二面體又有幾何上的聯(lián)系，前者的高度對(duì)稱性可以用于闡明后者的結(jié)構(gòu)。

因此，研究者能夠識(shí)別十二面體回到出發(fā)點(diǎn)所有直線路徑，并根據(jù)十二面體的隱藏對(duì)稱性對(duì)這些路徑進(jìn)行分類。

正十二面體存在無數(shù)條這樣的直線路徑，這些路徑還可以劃分為31個(gè)自然族。

論文地址：
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10586458.2020.1712564

數(shù)學(xué)思想的升華

升級(jí)Langlands數(shù)學(xué)橋

17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家提出了“費(fèi)馬最后的定理”。斷言，當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程x2+y2=z2沒有正整數(shù)解。

1995年，它被英國數(shù)學(xué)家安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）證明，經(jīng)歷了300多年。

威爾斯同時(shí)提出了數(shù)學(xué)橋的概念。意思是，這個(gè)等式就是兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的橋梁，連接好這座橋，就解開了這個(gè)不定式。

然而這只是Langlands項(xiàng)目的一小部分。Langlands項(xiàng)目由加拿大數(shù)學(xué)家羅伯特·蘭蘭茲（Robert Langlands）提出，旨在研究數(shù)論與幾何之間聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)猜想，被看作是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的最大項(xiàng)目。

△加拿大數(shù)學(xué)家Robert Langlands

數(shù)學(xué)家們將這個(gè)方法擴(kuò)展到有理數(shù)系數(shù)和橢圓曲線之間的聯(lián)系。最近，還覆蓋到了簡單的無理數(shù)系數(shù)。但是涉及到了虛數(shù)，或者更高的指數(shù)，例如4或5，他們方法也不奏效了。

于是，芝加哥大學(xué)的Frank Calegari和Facebook的科學(xué)家David Geraghty為了克服上述障礙，在網(wǎng)上發(fā)布論文，是關(guān)于怎么建立一個(gè)更加通用的不定式的橋梁，并提出了三個(gè)猜想。

為了證實(shí)這三個(gè)猜想，數(shù)學(xué)家們迅速舉辦了一個(gè)秘密的研討會(huì)，整理成了有10個(gè)人署名的論文。

雖然這篇論文的研究成果在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的Langlands項(xiàng)目中取得了巨大的突破，但是對(duì)于指數(shù)大于6，或者2個(gè)變量以上的不定式，仍舊沒有解決辦法。

所以，Langlands項(xiàng)目還有拓展空間。

數(shù)學(xué)論文地址：
https://arxiv.org/abs/1812.09999

多項(xiàng)式與冪級(jí)數(shù)

物理學(xué)中的排斥力，在數(shù)學(xué)中也存在。

多倫多大學(xué)的 Vesselin Dimitrov，就證明了它們的存在，并且獲得了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

一般情況下，多項(xiàng)式的根數(shù)與其次數(shù)值一樣多。所以X2 - 4具有兩個(gè)根，而X 5 - 7 X 3 + 2 X 2 - 4 X - 9有五個(gè)根。

數(shù)學(xué)家很想知道多項(xiàng)式的根與根之間有什么聯(lián)系。

這里引入一個(gè)分圓多項(xiàng)式，所謂的分圓多項(xiàng)式就是不可約的多項(xiàng)式，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)其根遵循特定的幾何方式，根都分布在一個(gè)圓內(nèi)，取名叫做“團(tuán)結(jié)之根”。

但是實(shí)際上，大多數(shù)都是非分圓多項(xiàng)式。

數(shù)學(xué)家預(yù)測，每個(gè)非分圓多項(xiàng)式必定有一個(gè)根在圓外。

他們猜想這個(gè)是由于“排斥力”，就像物理中的電子一樣，它們最小的根落在圓內(nèi)，像磁鐵一樣擁有排斥力，將其他根排斥到圓外。

但是長期以來，數(shù)學(xué)家們沒能證明這個(gè)理論。

Dimitrov做到了，他將多項(xiàng)式的根的大小的問題轉(zhuǎn)換成冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)就像多項(xiàng)式，有無限個(gè)解。

他從一個(gè)非分圓多項(xiàng)式入手，找到它的根，并把這些根取不同的冪，再將它們相乘，然后取這個(gè)積的平方根。最后，根據(jù)這個(gè)平方根，構(gòu)建出一個(gè)具有多項(xiàng)式本質(zhì)屬性的冪級(jí)數(shù)。

Dimitrov證明了冪級(jí)數(shù)的系數(shù)必然是整數(shù)，如果它的Hankel determinants也很大，那么，非分圓多項(xiàng)式的一個(gè)初始根必然也很大。于是，就證明了多項(xiàng)式的根與冪級(jí)數(shù)之間的聯(lián)系。

其他數(shù)學(xué)家評(píng)論說：“他的方法很精妙，間接證明了關(guān)于排斥力的猜想。”

參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/new-math-measures-the-repulsive-force-within-polynomials-20200514/

Duffin-Schaeffer猜想被證

來自牛津大學(xué)的青年數(shù)學(xué)家詹姆斯·梅納德（James Maynard）攻下了困擾大家80年的數(shù)學(xué)難題——Duffin-Schaeffer猜想。

Duffin-Shaeffer猜想是度量丟番圖逼近中的一個(gè)重要猜想，由物理學(xué)家Richard Duffin和數(shù)學(xué)家Albert Schaeffer在1941年提出。

眾所周知，大部分的實(shí)數(shù)都是π、√2這樣的無理數(shù)，它們是無法用分?jǐn)?shù)來表示的。

這個(gè)猜想假設(shè) f：N→R≥0是具有正值的實(shí)值函數(shù)，只有當(dāng)級(jí)數(shù)：

是發(fā)散的（q>0，φ(q)為歐拉函數(shù)，表示比q小且與q互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)），對(duì)于無理數(shù) α 而言，就存在無窮多個(gè)有理數(shù)，滿足不等式 | α-(p/q) |< f(q)/q。

這個(gè)證明過程困擾數(shù)學(xué)家數(shù)年，James Maynard和蒙特利爾大學(xué)的Dimitris Koukoulopoulos將它攻破了。

在他們的證明中，他們用分母創(chuàng)建了一個(gè)圖：把分母繪制成圖上的點(diǎn)，如果兩個(gè)點(diǎn)有許多共同的質(zhì)因數(shù)，就用線將兩點(diǎn)連接起來。

這樣一來，圖的結(jié)構(gòu)就編碼了每個(gè)分母所近似的無理數(shù)之間的重疊。原本這種重合度是難以直接測定的。

由此，他們證明了Duffin-Schaeffer猜想的正確性。

閱讀延伸：
https://mp.weixin.qq.com/s/vsjFvYZBfYdGf7NM4TgRqg

以上就是Quanta Magazine評(píng)選出來的，今年計(jì)算機(jī)-數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的幾項(xiàng)研究進(jìn)展。

你認(rèn)為這里面，哪些研究更有學(xué)術(shù)價(jià)值？

又或者說，是否還有沒上榜單的，但同樣是今年重大的研究突破？