數(shù)學(xué)菜鳥(niǎo)的AI學(xué)習(xí)攻略：數(shù)學(xué)符號(hào)輕松入門(mén)
編譯 | Molly 寒小陽(yáng)
| 自學(xué)AI的過(guò)程中，我們非常需要理解這些數(shù)學(xué)符號(hào)。它可以讓你用一種非常簡(jiǎn)潔的方式來(lái)表達(dá)一個(gè)復(fù)雜的想法。 |
你是否跟我一樣，自幼恨透數(shù)學(xué)。
現(xiàn)在，我終于發(fā)現(xiàn)了我對(duì)數(shù)學(xué)絕緣的最主要原因：我的老師從來(lái)不去回答最重要的問(wèn)題：我為什么要學(xué)數(shù)學(xué)?學(xué)數(shù)學(xué)有什么用?
他們只是在黑板上寫(xiě)下一大堆方程，并讓我記下來(lái)。
現(xiàn)在，如果你對(duì)AI這個(gè)激動(dòng)人心的領(lǐng)域感興趣，那么它將是回答這個(gè)問(wèn)題***的答案!那就是，我想要寫(xiě)一個(gè)更好的圖像識(shí)別程序，或者一個(gè)可以理解自然語(yǔ)言的交互界面!也許甚至想有一天寫(xiě)出自己的算法?
如果你想從閱讀 arXiv(https://arxiv.org/list/cs.AI/recent) 上的幾篇論文開(kāi)啟自學(xué)AI之路?那么首先，你需要知道怎樣理解這些有意思的數(shù)學(xué)小符號(hào)。
也許，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)最重要的原因，就是它可以讓你用一種非常簡(jiǎn)潔的方式來(lái)表達(dá)一個(gè)復(fù)雜的想法。
沒(méi)有它，解釋每個(gè)方程，都需要花上很多頁(yè)的篇幅。
而這篇文章要告訴你的是，學(xué)習(xí)這些符號(hào)不像你想象的那么難。
讓很多人對(duì)數(shù)學(xué)失去信息的第二個(gè)原因是，很多解釋寫(xiě)得太可怕了。
事實(shí)上，大部分人并不擅長(zhǎng)解釋東西。人們一般要定義一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，會(huì)使用更多的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。這就造成了不理解的一個(gè)***循環(huán)。好比定義“大象”這個(gè)詞，說(shuō)，“大象就是大象一類(lèi)的東西。”
這篇文章會(huì)將數(shù)學(xué)符號(hào)和現(xiàn)實(shí)世界關(guān)聯(lián)起來(lái)，并使用你已知的東西來(lái)類(lèi)比。這樣你可以腳踏實(shí)地地學(xué)習(xí)。
但是，這篇文章無(wú)法覆蓋到你讀一篇論文需要的所有數(shù)學(xué)符號(hào)。所以你會(huì)需要一本超級(jí)凝練的數(shù)學(xué)符號(hào)指南，Edward R. Scheinerman的Mathematical Notation: A Guide for Engineers and Scientists 。(它是我數(shù)學(xué)菜鳥(niǎo)的AI學(xué)習(xí)攻略 文章的一個(gè)后繼補(bǔ)充，但它是我使用最頻繁的一本書(shū)。它現(xiàn)在滿(mǎn)是高亮和折頁(yè)。隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷擴(kuò)充，我一遍又一遍地回頭翻閱這本書(shū)。)
讓我們開(kāi)始吧。
首先，什么是算法?
它真的只是解決一個(gè)特定的問(wèn)題的一系列步驟。無(wú)論你是否意識(shí)到，你都在使用算法。如果你需要給孩子們打包午飯，送他們上學(xué)，取走干洗的衣服，然后去上班，你已經(jīng)無(wú)意識(shí)地構(gòu)造了一系列步驟，從廚房到辦公室。這就是一個(gè)算法。
如果你的老板同時(shí)給你安排了六項(xiàng)工作，你需要找到在一天內(nèi)完成它們的***的方式。你需要選擇哪些事先做，哪些事后做，哪些事一起做等等。這就是一個(gè)算法。
這個(gè)概念為什么很重要呢?因?yàn)橐粋€(gè)方程也不過(guò)是解決問(wèn)題的一系列步驟而已。
我們從一些簡(jiǎn)單的符號(hào)開(kāi)始，寫(xiě)一些方程。數(shù)學(xué)就是對(duì)事物的翻譯。我們有一個(gè)輸入和一個(gè)輸出。我們將一些東西代入到我們方程的變量中，遍歷所有的步驟，然后得到輸出。計(jì)算機(jī)也是同樣的道理。
目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)背后的大部分黑魔法來(lái)自于數(shù)學(xué)的三個(gè)分支：
- 線(xiàn)性代數(shù)
- 集論
- 微積分
集合是什么?它就是一堆東西。一般使用花括號(hào){ }或方括號(hào)括起來(lái)。(搞數(shù)學(xué)的家伙對(duì)所有東西都很難在***符號(hào)表達(dá)上達(dá)成一致。)
一個(gè)集合
還記得我們?cè)诘?部分看到的張量?那就是一個(gè)集合。
一個(gè)集合通常由大寫(xiě)字母表示，例如A、B、V或W。只要你前后一致，字母本身是什么并不重要。
但是，一些特定的大寫(xiě)字母和符號(hào)被保留下來(lái)，用來(lái)表示重要的、常用的數(shù)字集，例如：
- ∅ = 空集(集合里什么都沒(méi)有)。這個(gè)符號(hào)是一個(gè)希臘字母，“phi”。數(shù)學(xué)里常常會(huì)用到希臘字母。此處可以查閱大小寫(xiě)希臘字母的寫(xiě)法(https://en.wikipedia.org/wiki/Greek_letters_used_in_mathematics,_science,_and_engineering)。
- R =所有實(shí)數(shù)。(幾乎所有存在的數(shù)都是實(shí)數(shù)，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、超越數(shù)如Pi (π)(3.14159265…)。但是不包括虛數(shù)，一種為了求無(wú)解方程的解而構(gòu)造的數(shù)，也不包括無(wú)窮)
- Z =所有整數(shù)。(除了分?jǐn)?shù)之外的數(shù)字，比如-1,-2, 0, 1, 2, 3)
大部分保留字母表可以在趣味數(shù)學(xué)(http://www.mathsisfun.com/sets/number-types.html)里查到。
所有這些都是集合，其中一部分是子集，也就是他們被更大的一個(gè)集合完全包含，就像這樣：
去查查看Q和N是什么意思吧!
在這個(gè)例子中，我們可以說(shuō)，Z(整數(shù)集)是R(實(shí)數(shù)集)的子集。
我們可以這么寫(xiě)：
A是B的子集(A包含于B)：相反的，B是A的超集(B包含A)
我為什么要在乎一個(gè)集合B是不是包含了A的全部?jī)?nèi)容呢?好問(wèn)題。
假如有一個(gè)集合，包括了所有生活在美國(guó)的人，有他們的年齡、地址等等信息。現(xiàn)在假設(shè)有另一個(gè)集合，包括了心臟病發(fā)病率更高的人。那么這兩個(gè)集合重合的地方，可以告訴我們哪個(gè)地區(qū)的人更可能患有心臟病。
每個(gè)集合里都有元素。元素是什么?就是大集合的一部分。我們?cè)倏匆幌挛覀兊膹埩俊?/p>
我們將集合中的元素記作小寫(xiě)斜體字母，例如x.我們用一個(gè)看起來(lái)很奇怪的E一樣的符號(hào)(其實(shí)不是E)，來(lái)表示一個(gè)元素是集合的一部分。我們可以這么寫(xiě)：
這表示x是集合A中的一個(gè)元素。
我們也可以說(shuō)x不是集合A中的一個(gè)元素：
你越能理解這些符號(hào)，你就越能在頭腦中通過(guò)這些字符串來(lái)溝通。當(dāng)你看到上面這個(gè)，你可以說(shuō)，“x不是集合A中的元素。”你越能明確地講出符號(hào)的含義，你就越能理解它們。
當(dāng)然，寫(xiě)出一個(gè)集合的所有元素是不現(xiàn)實(shí)的，我們可以使用一種特殊的方式來(lái)寫(xiě)出一個(gè)元素的序列。假如我們有一個(gè)數(shù)字序列，以1為步長(zhǎng)遞增。我們可以這樣寫(xiě)：
x = {1,2,3,4…n}
這些點(diǎn)表示這個(gè)序列到n結(jié)束，n代表“序列的末尾”。所以如果n = 10,這個(gè)集合包括從1到10的數(shù)字范圍。如果n = 100,這個(gè)集合包括從1到100的數(shù)字范圍。
瘋狂的方程
當(dāng)我們將集合轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性代數(shù)的時(shí)候，它們就十分有意思了。你已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些代數(shù)符號(hào)比如加號(hào)+，減號(hào)-。現(xiàn)在我們看兩個(gè)新的符號(hào)和一個(gè)方程。首先是符號(hào)：
- Σ = 一系列數(shù)字的和
- Π = 一系列數(shù)字的積
和是什么?是序列中所有數(shù)字做加法。比如我們有一個(gè)向量集A(記住向量是一行或一列數(shù)字)包括： {1,2,3,4,5}.
序列的和為：
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
積是所有數(shù)字做乘法。所以對(duì)于同樣的集合A我們有：
- 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =120
我們可以將序列的和精簡(jiǎn)地寫(xiě)作：
那么我們?cè)鯓永斫馑?簡(jiǎn)單，看這個(gè)。
我們從底部的j開(kāi)始，j是一個(gè)變量。然后將j代入到右邊的表達(dá)式中。***，我們將序列的結(jié)束數(shù)字寫(xiě)在頂部。看一個(gè)例子：
如果你是一個(gè)程序員，你會(huì)立刻認(rèn)出這是一個(gè)循環(huán)!
我們給這個(gè)方程寫(xiě)一個(gè)Python函數(shù)：
- def sum_x_range(x):
- j = 1
- output = [] # 創(chuàng)建一個(gè)空l(shuí)ist
- for k in range(0,5): # 開(kāi)始循環(huán)
- z = x**j # 計(jì)算x的j次方
- jj = j + 1 # j增加1，知道到達(dá)n，也就是5
- output.append[z] # 將z添加到list中
- return sum(output) # 返回list中所有數(shù)字的和
- print (sum_x_range(2)) # 令x=2，調(diào)用方程
原諒我糟糕的Python風(fēng)格，但是我希望代碼清晰，而不是簡(jiǎn)潔。
**符號(hào)表示x的j次冪。方程輸入?yún)?shù)x，我令它為2。從0到5循環(huán)，取x的1,2,3,4, 5次冪，然后將這些數(shù)字添加到一個(gè)列表中。它得出列表數(shù)字之和為：62。
走進(jìn)矩陣
記住，2D張量也被稱(chēng)為矩陣。它基本上是一個(gè)表格，有行和列。首先，你需要知道如何引用矩陣的不同部分。 這張圖講得很清楚：
首先我們有矩陣A。用大寫(xiě)字母表示。
矩陣有m行和n列，所以我們叫它m X n 矩陣，用小寫(xiě)斜體字母表示。
行是水平的，也就是從左到右。 (不要被圖中箭頭迷惑，箭頭指向的i和j不是行的方向，行是水平的!)
列是垂直的，也就是從上到下。
在這個(gè)例子中我們有一個(gè)4 x 5 矩陣，(也就是2D張量)，因?yàn)槲覀冇?行5列。
每個(gè)方格是矩陣中的一個(gè)元素。元素的位置使用小寫(xiě)斜體a和行序號(hào)i和列序號(hào)j來(lái)表示。
所以第1行第2列的4，用a1,2表示。第2行第1列的3，用a2,1表示。
我們不會(huì)講解所有的矩陣數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們選擇其中一種來(lái)小試牛刀。
點(diǎn)乘在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中是一種非常常用的運(yùn)算，所以一起看看它。
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)
點(diǎn)乘是我們用一個(gè)矩陣乘以另一個(gè)矩陣的方法。
點(diǎn)乘的符號(hào)表示，你應(yīng)該猜到了，是一個(gè)點(diǎn)。
- a . b
這是兩個(gè)標(biāo)量(也就是單獨(dú)的數(shù))的點(diǎn)乘。標(biāo)量也是我們的矩陣?yán)锏莫?dú)立的元素。
我們將同樣大小和形狀的矩陣對(duì)應(yīng)的元素相乘，再把所有的乘積作和。
那么一個(gè)向量和另一個(gè)向量乘積的公式是什么樣的呢?
深吸一口氣。你成功了!
我們現(xiàn)在認(rèn)識(shí)了所有的符號(hào)。
這是兩個(gè)等長(zhǎng)向量的乘積公式。記住在數(shù)學(xué)菜鳥(niǎo)的AI學(xué)習(xí)攻略第四部分-張量表示(有貓) 中講到，一個(gè)向量就是一行或者一列數(shù)字。我們的矩陣的每一行或者每一列都是一個(gè)向量。
首先我們用矩陣A的***個(gè)元素乘以矩陣B的***個(gè)元素。然后我們用元素A2 乘以元素B2.我們對(duì)于每一個(gè)元素做相同的操作，直到達(dá)到末尾，“n”。然后對(duì)它們作和。
讓我們看一下這個(gè)操作的圖示。
現(xiàn)在我們可以把這些數(shù)字代入我們的公式。
這里是輸出矩陣下一個(gè)數(shù)字的例子
這是我們處理完所有運(yùn)算得到的最終結(jié)果：
這些例子來(lái)自于神奇的趣味數(shù)學(xué)網(wǎng)站(Math is Fun website)。這個(gè)網(wǎng)站里有大量超贊的例子，完全無(wú)法超越。
我增加了一些公式，以助于你的理解。因?yàn)樗麄円话愣紩?huì)跳過(guò)這些，因?yàn)橐话氵@些步驟并不會(huì)令人感到困惑。但是你現(xiàn)在再也不會(huì)困惑了。
勝在學(xué)習(xí)策略
我想用一些可以幫你快速學(xué)習(xí)的策略來(lái)結(jié)束這篇文章。
我是一個(gè)自學(xué)者，也就是我一般自己給自己講解。當(dāng)我可以放慢腳步，可以自己探索時(shí)，我可以學(xué)得更好。我會(huì)犯一些錯(cuò)誤。我上一篇文章就是一個(gè)很好的例子，我不得不修正一部分。但是錯(cuò)誤也是一件好事!
錯(cuò)誤是過(guò)程中的一部分。你沒(méi)有辦法避免錯(cuò)誤，只能擁抱它。你犯錯(cuò)了，你會(huì)進(jìn)步。沒(méi)有犯錯(cuò)，就沒(méi)有進(jìn)步。就是這么簡(jiǎn)單。
工程界有一個(gè)老段子。
如果你想知道正確答案，不用請(qǐng)人幫忙。只要將錯(cuò)誤答案發(fā)出來(lái)，你就可以看看多少工程師跳出來(lái)指正你!
工程師絕不允許錯(cuò)誤答案存在!
這是一個(gè)老段子，但是常常很管用。
另一件重要的事情是，如果你沒(méi)有讀我在數(shù)學(xué)菜鳥(niǎo)的AI攻略的一部分推薦的文章的話(huà)，或者你沒(méi)有微積分、代數(shù)和幾何背景的話(huà)，你可能讀不了數(shù)學(xué)符號(hào)書(shū)(Mathematical Notation book) 。你需要懂得一個(gè)術(shù)語(yǔ)的背景知識(shí)。但是我建議你買(mǎi)一本，它可以在你讀其他書(shū)的時(shí)候，作為一個(gè)參考指南。
另外，建議放慢腳步。這又不是比賽!半途而廢等于沒(méi)有分。如果你跳過(guò)了一些你不懂的術(shù)語(yǔ)，你將來(lái)還是不得不回頭來(lái)看。
所以停下來(lái)，花一點(diǎn)時(shí)間搞明白所有你不懂的符號(hào)。這很緩慢，甚至令人沮喪。但是當(dāng)你建立越來(lái)越多的知識(shí)體系，你會(huì)越來(lái)越快。你會(huì)發(fā)現(xiàn)你已經(jīng)理解了一些術(shù)語(yǔ)，而此前你從未想象自己可以理解它。
另外，你可能需要從多個(gè)地方來(lái)查詢(xún)。需要面對(duì)的事實(shí)是，大部分人都不是好老師。他們可能理解了一篇材料，但是并不意味著他們可以給其他人講清楚。教學(xué)是一門(mén)藝術(shù)。這就是為什么趣味數(shù)學(xué)網(wǎng)站比維基百科好。維基百科確實(shí)很“正確”，但是也很枯燥，有時(shí)候還令人費(fèi)解。等你學(xué)到更多的時(shí)候，也許你可以將維基百科改得更好。
將這些忠告記在心里，你的AI學(xué)習(xí)之旅就不會(huì)誤入歧途!
來(lái)源：
https://hackernoon.com/learning-ai-if-you-suck-at-math-p6-math-notation-made-easy-1277d76a1fe5#.1doldcnhr
【本文是51CTO專(zhuān)欄機(jī)構(gòu)大數(shù)據(jù)文摘的原創(chuàng)譯文，微信公眾號(hào)“大數(shù)據(jù)文摘（ id: BigDataDigest）”】
