剛剛，著名數學家陶哲軒在個人社交平臺更新的幾篇帖子，引起大家廣泛的共鳴。

陶哲軒用淺顯易懂的語言表達了自己對數學的理解與思考心得。 

文中談到了一個關于「度」的問題，陶哲軒表示在設計系統時，缺乏或者過度的數學分析可能都會適得其反，所以要適度。

有時，我們不需要太過復雜精深的專業知識，大道至簡。

對于大多數任務，使用一些相對簡單但通用的數學方法，往往比專門設計的算法效果更好。

陶哲軒還提到，在純數學中，故意忽略一些直覺上看似非常重要的信息非常有幫助。

接下來是陶哲軒帖子全部內容。

掌握一點點的數學知識就能大有裨益。系統的設計不僅僅會因為缺乏足夠的數學分析而受到限制，同樣也可能因為過度的數學分析而受到阻礙。 

一個常見的例子是網絡安全中對密碼的要求。從數學上講，密碼要求越復雜（例如，規定最小長度、特殊字符或不重復使用密碼），密碼就越安全。

然而，如果要求過于復雜，用戶和服務提供商可能會尋找繞過復雜要求的方法，比如尋找簡單的密碼重置或恢復方式，或者將密碼存儲在不安全的系統中。這些做法反而可能降低整體系統的安全性，而不是提升它。 

另一方面，只對單一指標（如用戶使用密碼直接登錄系統）進行過度優化，可能會損害更廣泛的目標。就如古德哈特定律（Goodhart's law）中所說的，「當壓力施于其上以進行控制時，任何觀測到的統計恒性都傾向消散。」

粗略的講，在設計安全性時，直接輸入方式的安全性應該加強到與其他輸入方式的安全性相當，但超過這個程度的加強反而可能適得其反。

舉個例子來說，如果一棟建筑的前門有鎖，但窗戶沒有防護，那么再給前門加更多的鎖就沒有太大意義，這樣做甚至可能導致一種危險的虛假安全感。另一方面，如果窗戶比前門更難進入，那么在前門上至少加一把鎖就很合理。 

在人工智能領域，強化學習之父 Rick Sutton 的「苦澀的教訓」（Bitter Lesson）就是這一原則的一個例子。

從直覺上來看，大家往往會認為針對具體任務量身定制算法是最自然的選擇，在某些情況下，確實能取得不錯的效果。

其實，對于大多數任務，使用一些相對簡單但通用的數學方法，如梯度下降和反向傳播，往往比專門設計的算法效果更好。通用方法不依賴于特定任務的領域知識，而是通過大量的數據和計算資源來訓練模型，通常能帶來更大的進展。

最近，我看到了有人為傳感器網絡開發更實惠的模數轉換器（ADC），就是這條發現的證明。

傳統上，ADC 電路基于經典電氣工程原理設計，采用常微分方程（ODE）、共振、傅里葉變換等數學工具來構建高效電路。然而，在一些特定環境（如傳感器網絡）中，我們的目標是大規模、快速且成本低的方式實現模數轉換，同時可以容忍一定的故障率。

在這種情況下，訓練神經網絡來設計 ADC 電路，不依賴任何專業領域的知識（如傅里葉分析），反而是更好的方法。

這并不是說領域知識毫無用處 —— 例如，物理信息神經網絡在許多物理領域的表現可以遠超標準神經網絡 —— 關鍵在于了解在什么情況下，應該運用多少領域知識。

在純數學中，一個有效的解題方法是故意忽略一些直覺上看似非常重要的信息。比如，在分析數論中，許多進展都是通過把像素數這樣的「重要」數學對象轉化為看起來更加簡單、結構較少的形式來實現的。這樣做可以讓我們更容易找到解決問題的途徑。

但抽象也需要把握一個度。如果抽象得過頭，就會丟失關鍵信息，反而無法解決問題；而如果抽象得恰到好處，問題就會變得更加清晰，從而找到合適的技巧去解決它。在此過程中甚至可以做出一些看似不太合理的變換，讓解題思路更加靈活起來。

我有時會開玩笑說，應用數學家只需要掌握每本純數學研究生教材的前兩章，之后的章節對他們可能幫助不大（甚至可能有負面作用）。

另一方面，正是尋找第 3 到第 12 章的過程，才使得前兩章至臻完美、具有廣泛實用性的瑰寶。

在讀完陶哲軒的這段見解后，有人評論道：這些建議非常有價值，不論是對于哪種問題，都要做到： 

• 簡化細節，直到看到更宏觀的問題結構。
• 判斷是否已有針對同類問題的解決方案。
• 或者判斷這個一般性問題類是否過于籠統，或者是否過于具體。