陶哲軒有多愛GPT-4？

這回，不止寫論文做研究，學新工具時他也離不開它了。

就在今天，他的又一篇成果上線，關于麥克勞林不等式。

為了更好地展現其成果，48歲的他開始學習Lean4（一種可作為交互式定理證明工具的函數式編程語言）。

他自述，隨著學習該語言“關卡難度”的增加，GPT-4又能幫大忙了——

如果沒有它幫我解決各種微妙的語法問題，你都無法想象我有多崩潰。

不愧是GPT-4的“野生代言人”。

至于這次的論文，陶哲軒表示：

非常簡短，只有11頁。并且用到的方法非?；A，只需要本科的微積分和多項式知識就可以。

一起來看看

麥克勞林不等式

這篇論文10月10日發表，距離上一篇“歐拉函數的單調非遞減序列”差不多正好一個月。

總的來說，這篇論文主要講的是經典麥克勞林不等式認為初等對稱為以下形式（公式1）：

當1≤k≤?≤n且y=(y1,…,yn)由非負實數組成時，它服從不等式（公式2）：

在此，陶哲軒提出了一個變體（公式3）：

在這個變體中，y_i被允許為負。

在這種情況下，不等式“急劇上升”為常數，即使分母不含k^1/2因子不等式也是已知的。

具體而言，陶哲軒寫道：

公式2也可以被用牛頓不等式來證明：

所有1≤k<n和任意實數y1,…,yn有效（特別是這里的yi被允許為負數。</n和任意實數y1,…,yn有效（特別是這里的y

但是請注意，當k=1，n=2時，它就是算術平均-幾何平均不等式了：

這種不等式的一般情況可以通過許多標準操作從上面這種特殊情況中推導出來。

為什么可以？這主要歸功于羅爾定理（Rolle’s theorem）。

但陶哲軒指出，關鍵點是是該運算保留了直到S_n-1為止的所有基本對稱均值。

接下來，我們可以將麥克勞林不等式視為提供n變量上的算術平均-幾何平均不等式的改進版本（當k=1，?=n時）。

不過，牛頓不等式適用于任意實數y_i ，一旦允許一個或多個y_i為負，麥克勞林不等式就會“崩潰”。

但鑒于當n為偶數時會出現一個關鍵示例：y_i的一半等于+1，一半等于-1。

我們就可以驗證基本對稱均值s_k中當k奇數時“消失”，為偶數時則等于：

特別地，一些常規估計可以得出量級界限（公式a）：

問題又來了，由于當0<k≤n上式也成立，因此即使在sk(y)上加上絕對值之后仍然嚴重違反了麥克勞林不等式。</k≤n上式也成立，因此即使在s

另一方面，其他數學家還觀察到，如果兩個連續值都很小，這會導致所有后續值s_?(y)也很小。

還有另一數學家觀察到了這一說法的更精確版本（公式b）：

其中1≤k≤?≤n且y=(y1,…,yn)為實數（但可能為負）。

假設k=1，?=n，我們就能得到不等式：

再結合算術平均數-幾何平均數不等式又可以成立不等式：

以及等式：

與牛頓不等式的證明一樣，公式b的一般情況可以通過一些標準操作（包括前面提到的微分運算）從這個特殊情況得到。

然而，如果對照關鍵示例給出的邊界a (公式a) 檢查邊界n (公式b)，我們會發現不匹配：

在k^1/2的影響下，b的右側比左側大。

在此，論文的主要成果就是通過建立最佳修改（直至常數），即前面提到的公式3來糾正這一問題。

這個成果也回答了數學網站MathOverflow上網友提出的疑問：

那么陶哲軒是如何解決的呢？

與前面的論點不同，他在這里不主要依賴算術平均數-幾何平均數不等式。相反，主要工具是新的不等式：

它對所有1≤?≤n和r>0有效。

該式子的證明大家如果感興趣可以進一步查閱博客或論文，主要涉及一些微積分、二項式定理和多項式的知識。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2310.05328