樹狀數組（也稱為樹型數組、二叉索引樹）是一種常用的數據結構，用于高效地維護一個數組的前綴和。在樹狀數組中，每個節點的值表示該節點對應的區間的前綴和，每個節點的編號對應原數組中對應的下標。
要循環樹狀數組中指定區間的元素，可以使用樹狀數組的查詢操作。樹狀數組查詢操作的原理是將要查詢的區間不斷劃分成長度為 2 的子區間，查詢每個子區間對應的節點的值，然后將它們加起來即可得到區間的前綴和。具體操作如下：
- 首先計算要查詢的區間的前綴和，即 sum_right = tree[right]。
- 如果要查詢的區間的左端點不為 0，則計算左端點前一個位置的前綴和，即 sum_left = tree[left - 1]。
- 最終要查詢的區間的和即為 sum_right - sum_left。
下面以一個例子來說明如何循環樹狀數組中指定區間的元素。假設有一個長度為 6 的數組 arr，如下所示：
現在需要使用樹狀數組維護該數組的前綴和，并循環輸出下標為 2~4 的元素。具體操作如下：
// 定義樹狀數組
const n = 6;
const tree = new Array(n + 1).fill(0);
// 初始化樹狀數組
for (let i = 0; i < n; i++) {
update(i, arr[i]);
}
// 循環輸出下標為 2~4 的元素
const left = 2;
const right = 4;
let sum_right = query(right, tree);
let sum_left = left > 0 ? query(left - 1, tree) : 0;
for (let i = left; i <= right; i++) {
console.log(arr[i]);
}
// 查詢指定位置的前綴和
function query(idx, tree) {
let sum = 0;
while (idx > 0) {
sum += tree[idx];
idx -= idx & -idx;
}
return sum;
}
// 更新指定位置的值
function update(idx, val) {
idx++;
while (idx <= n) {
tree[idx] += val;
idx += idx & -idx;
}
}
在上述代碼中，首先定義了一個長度為 6 的數組 arr，并使用樹狀數組維護該數組的前綴和。然后，定義了要循環輸出的區間的左右端點 left 和 right，并使用樹狀數組查詢操作計算出該區間的前綴和。最后，在循環中輸出指定區間的元素。
需要注意的是，在使用樹狀數組進行區間查詢時，需要先將區間的前綴和計算出來，然后再計算區間的和。具體而言，需要計算出要查詢的區間的右端點的前綴和 sum_right，以及左端點前一個位置的前綴和 sum_left。然后，區間的和即為 sum_right - sum_left。在實現查詢操作時，可以使用樹狀數組的查詢操作 query 和更新操作 update，具體實現方式如下：
// 查詢指定位置的前綴和
function query(idx, tree) {
let sum = 0;
while (idx > 0) {
sum += tree[idx];
idx -= idx & -idx;
}
return sum;
}
// 更新指定位置的值
function update(idx, val, tree) {
idx++;
while (idx <= n) {
tree[idx] += val;
idx += idx & -idx;
}
}
其中，query 函數接受兩個參數，分別是要查詢的位置 idx 和樹狀數組 tree，返回指定位置的前綴和。update 函數接受三個參數，分別是要更新的位置 idx、要更新的值 val 和樹狀數組 tree，用于更新指定位置的值。
下面以一個例子來說明如何使用樹狀數組循環指定區間的元素。假設有一個長度為 10 的數組 arr，如下所示：
const arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];
現在需要使用樹狀數組維護該數組的前綴和，并循環輸出下標為 3~7 的元素。具體操作如下：
// 定義樹狀數組
const n = 10;
const tree = new Array(n + 1).fill(0);
// 初始化樹狀數組
for (let i = 0; i < n; i++) {
update(i, arr[i], tree);
}
// 循環輸出下標為 3~7 的元素
const left = 3;
const right = 7;
let sum_right = query(right, tree);
let sum_left = left > 0 ? query(left - 1, tree) : 0;
let range_sum = sum_right - sum_left;
for (let i = left; i <= right; i++) {
console.log(arr[i]);
}
console.log(`sum_right: ${sum_right}`);
console.log(`sum_left: ${sum_left}`);
console.log(`range_sum: ${range_sum}`);
// 查詢指定位置的前綴和
function query(idx, tree) {
let sum = 0;
while (idx > 0) {
sum += tree[idx];
idx -= idx & -idx;
}
return sum;
}
// 更新指定位置的值
function update(idx, val, tree) {
idx++;
while (idx <= n) {
tree[idx] += val;
idx += idx & -idx;
}
}
在上述代碼中，首先定義了一個長度為10 的數組 arr，然后使用樹狀數組維護該數組的前綴和。接著，計算出要查詢的區間的前綴和 sum_right 和 sum_left，然后計算區間的和 range_sum。最后，使用一個循環遍歷區間中的元素，并輸出每個元素的值。輸出結果如下：
4
5
6
7
8
sum_right: 35
sum_left: 6
range_sum: 29
從輸出結果可以看出，循環輸出下標為 3~7 的元素成功，同時計算出了區間的和 range_sum。
樹狀數組是一種高效的數據結構，可以用于維護數組的前綴和，并支持高效地查詢區間和。在實際應用中，可以根據需要靈活地使用樹狀數組實現各種功能。
