上周面試一個候選人，問了一個數據結構與算法的問題，表達式求值。

題目大概是這樣的：

• 輸入長度為n的字符串，例如：1+2+3*4*5
• 輸出表達式的值，即：63

我暗示的問：應該用什么數據結構？候選人回答：棧。

畫外音：算是答對。?

問：時間復雜度呢？回答：O(n^2)

畫外音：額，應該不需要兩個for循環吧。?

我接著提示：應該先計算哪一步？候選人回答：先計算3*4。

畫外音：額，難道是乘除大于加減？

實際應該先計算1+2，說明候選人對“表達式求值”并沒有搞透。?

怎么用棧來實現呢？候選人：…

本來以為是送分題，候選人竟一時語塞。

為了廣大面試的同學不再在這一題上送命，今天花幾分鐘把這個問題講透徹。

畫外音：希望沒有幫面試官增加題庫。?

“表達式求值”問題，兩個核心關鍵點：

(1) 雙棧，一個操作數棧，一個運算符棧；

(2) 運算符優先級，棧頂運算符，和，即將入棧的運算符的優先級比較：

• 如果棧頂的運算符優先級低，新運算符直接入棧?
• 如果棧頂的運算符優先級高，先出棧計算，新運算符再入棧?

仍以1+2+3*4*5舉例，看是如何利用上述兩個關鍵點實施計算的。

首先，這個例子只有+和*兩個運算符，所以它的運算符表是：

這里的含義是：

• 如果棧頂是+，即將入棧的是+，棧頂優先級高，需要先計算，再入棧；
• 如果棧頂是+，即將入棧的是*，棧頂優先級低，直接入棧；
• 如果棧頂是*，即將入棧的是+，棧頂優先級高，需要先計算，再入棧；
• 如果棧頂是*，即將入棧的是*，棧頂優先級高，需要先計算，再入棧；

畫外音：運算符有+-*/()~^&都沒問題，如果共有n個運算符，會有一個n*n的優先級表。?

有了運算符表，一切就好辦了。

一開始，初始化好輸入的字符串，以及操作數棧，運算符棧。

一步步，掃描字符串，操作數一個個入棧，運算符也入棧。

畫外音：如果有“789”這樣的多個字符的多位數，要先轉化為數字789，這個過程很容易。?

下一個操作符要入棧時，需要先比較優先級。

棧內的優先級高，必須先計算，才能入棧。

計算的過程為：

• 操作數出棧，作為num2；
• 操作數出棧，作為num1；
• 運算符出棧，作為op；
• 計算出結果；

(5) 結果入操作數棧；

接下來，運算符和操作數才能繼續入棧。下一個操作符要入棧時，繼續比較與棧頂的優先級。

棧內的優先級低，可以直接入棧。

字符串繼續移動。

又要比較優先級了。

棧內的優先級高，還是先計算（3*4=12），再入棧。

不斷入棧，直到字符串掃描完畢。

不斷出棧，直到得到最終結果3+60=63，算法完成。

總結?

“表達式求值”問題，兩個核心關鍵點：

(1) 雙棧，一個操作數棧，一個運算符棧；

(2) 運算符優先級，棧頂運算符，和，即將入棧的運算符的優先級比較：

• 如果棧頂的運算符優先級低，新運算符直接入棧?
• 如果棧頂的運算符優先級高，先出棧計算，新運算符再入棧?

這個方法的時間復雜度為O(n)，整個字符串只需要掃描一遍。

思路比結論重要，學到了嗎？?