了解隨機(jī)游走模型和移動(dòng)平均過(guò)程(Python)

作者：不靠譜的貓 2020-05-20 08:33:39

開(kāi)發(fā) 后端

在本文中，我將介紹兩個(gè)能夠?qū)r(shí)間序列進(jìn)行建模的模型：隨機(jī)游走和移動(dòng)平均過(guò)程。

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隨機(jī)游走模型

隨機(jī)游走模型由以下公式表示：

換句話說(shuō)，當(dāng)前時(shí)刻t的位置是前一時(shí)刻(t-1)的位置與噪聲(用z表示)之和。這里我們假設(shè)噪聲是正態(tài)分布的(均值為0，方差為1)。

我們從0開(kāi)始隨機(jī)游走，也就是說(shuō)，任何時(shí)間點(diǎn)都是該時(shí)間之前所有噪聲的和。數(shù)學(xué)上表示為：

讓我們?cè)赑ython中模擬隨機(jī)游走。

首先，我們導(dǎo)入所需的Python庫(kù)：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf 
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess 
from statsmodels.tsa.stattools import acf 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
 
%matplotlib inline

然后，我們生成一個(gè)包含1000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集。起點(diǎn)是0，我們將隨機(jī)噪聲添加到上一個(gè)點(diǎn)以生成下一個(gè)點(diǎn)：

steps = np.random.standard_normal(1000) 
steps[0]=0 
random_walk = np.cumsum(steps)

繪制數(shù)據(jù)集的Python代碼如下：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(random_walk) 
plt.title("Simulated Random Walk") 
plt.show()

模擬隨機(jī)游走

你的隨機(jī)行走可能與上面的圖不同，因?yàn)樵肼暿请S機(jī)的。

現(xiàn)在，讓我們看看我們的隨機(jī)游走的自相關(guān)圖(或相關(guān)圖)：

random_walk_acf_coef = acf(random_walk) 
plot_acf(random_walk, lags=20);

了解隨機(jī)游走模型和移動(dòng)平均過(guò)程(Python)

隨機(jī)游走的相關(guān)圖

不管你的隨機(jī)游走看起來(lái)像什么，你都應(yīng)該得到一個(gè)非常相似的相關(guān)圖。

現(xiàn)在，一切都指向數(shù)據(jù)集中的趨勢(shì)。我們可以改變這種趨勢(shì)嗎?答案是肯定的。

讓我們?cè)赑ython中進(jìn)行驗(yàn)證。

random_walk_diff = np.diff(random_walk, n=1)

然后我們繪制結(jié)果：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(random_walk_diff) 
plt.title('Noise') 
plt.show()

如您所見(jiàn)，上面的圖沒(méi)有趨勢(shì)，也沒(méi)有季節(jié)性，是一個(gè)完全隨機(jī)的過(guò)程。

查看相關(guān)圖的python代碼如下：

plot_acf（random_walk_diff，lags = 20）;

我們看到這是一個(gè)純隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)圖，其中自相關(guān)系數(shù)在滯后1處下降。

移動(dòng)平均過(guò)程

我們先來(lái)直觀了解一下什么是移動(dòng)平均過(guò)程。

假設(shè)你把一塊石頭扔進(jìn)一個(gè)池塘里，你要追蹤水面上一滴水的位置。當(dāng)石頭撞擊水面時(shí)，會(huì)形成波紋，所以我們要跟蹤的水滴會(huì)上下移動(dòng)。讓我們假設(shè)波紋只持續(xù)兩秒鐘，在這兩秒鐘之后，水面就會(huì)完全變平。

我們的水滴位置可以表示為：

上面的方程表示，X在t時(shí)刻的位置取決于t時(shí)刻的噪聲，加上t-1時(shí)刻的噪聲(有一定的權(quán)重THETA)，加上t-2時(shí)刻的噪聲(有一定的權(quán)值)。

這被稱為二階移動(dòng)平均過(guò)程，可以表示為MA(2)。

通用表示法是MA(q)。在上面的示例中，q = 2。

讓我們?cè)赑ython中模擬此過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)，我們將模擬以下過(guò)程：

這是一個(gè)二階移動(dòng)平均過(guò)程，我們指定了權(quán)重。您可以隨意更改權(quán)重，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)。

我們從指定滯后開(kāi)始，我們用的是2。

ar2 = np.array（[2]）

然后，我們指定權(quán)重，權(quán)重為[1、0.9、0.3]。

ma2 = np.array([1, 0.9, 0.3])

最后，我們模擬該過(guò)程并生成1000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)：

MA2_process = ArmaProcess(ar2, ma2).generate_sample(nsample=1000)

現(xiàn)在，讓我們可視化該過(guò)程及其相關(guān)圖：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure 
plt.plot(MA2_process) 
plt.title('Moving Average Process of Order 2') 
plt.show() 
 
plot_acf(MA2_process, lags=20);