大數(shù)據(jù)、人工智能、海難搜救、生物醫(yī)學(xué)、郵件過濾，這些看起來彼此不相關(guān)的領(lǐng)域之間有什么聯(lián)系?答案是，它們都會(huì)用到同一個(gè)數(shù)學(xué)公式——貝葉斯公式。它雖然看起來很簡(jiǎn)單、很不起眼，但卻有著深刻的內(nèi)涵。那么貝葉斯公式是如何從默默無聞到現(xiàn)在廣泛應(yīng)用、無所不能的呢?

一、 什么是貝葉斯公式

18世紀(jì)英國業(yè)余數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯(Thomas Bayes，1702～1761)提出過一種看上去似乎顯而易見的觀點(diǎn)：“用客觀的新信息更新我們最初關(guān)于某個(gè)事物的信念后，我們就會(huì)得到一個(gè)新的、改進(jìn)了的信念。” 這個(gè)研究成果，因?yàn)楹?jiǎn)單而顯得平淡無奇，直到他死后的兩年才于1763年由他的朋友理查德·普萊斯幫助發(fā)表。它的數(shù)學(xué)原理很容易理解，簡(jiǎn)單說就是，如果你看到一個(gè)人總是做一些好事，則會(huì)推斷那個(gè)人多半會(huì)是一個(gè)好人。這就是說，當(dāng)你不能準(zhǔn)確知悉一個(gè)事物的本質(zhì)時(shí)，你可以依靠與事物特定本質(zhì)相關(guān)的事件出現(xiàn)的多少去判斷其本質(zhì)屬性的概率。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：支持某項(xiàng)屬性的事件發(fā)生得愈多，則該屬性成立的可能性就愈大。與其他統(tǒng)計(jì)學(xué)方法不同，貝葉斯方法建立在主觀判斷的基礎(chǔ)上，你可以先估計(jì)一個(gè)值，然后根據(jù)客觀事實(shí)不斷修正。

1774年，法國數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749-1827)獨(dú)立地再次發(fā)現(xiàn)了貝葉斯公式。拉普拉斯關(guān)心的問題是：當(dāng)存在著大量數(shù)據(jù)，但數(shù)據(jù)又可能有各種各樣的錯(cuò)誤和遺漏的時(shí)候，我們?nèi)绾尾拍軓闹姓业秸鎸?shí)的規(guī)律。拉普拉斯研究了男孩和女孩的生育比例。有人觀察到，似乎男孩的出生數(shù)量比女孩更高。這一假說到底成立不成立呢?拉普拉斯不斷地搜集新增的出生記錄，并用之推斷原有的概率是否準(zhǔn)確。每一個(gè)新的記錄都減少了不確定性的范圍。拉普拉斯給出了我們現(xiàn)在所用的貝葉斯公式的表達(dá)：

P(A/B)=P(B/A)*P(A)/P(B)，

該公式表示在B事件發(fā)生的條件下A事件發(fā)生的條件概率，等于A事件發(fā)生條件下B事件發(fā)生的條件概率乘以A事件的概率，再除以B事件發(fā)生的概率。公式中，P(A)也叫做先驗(yàn)概率，P(A/B)叫做后驗(yàn)概率。嚴(yán)格地講，貝葉斯公式至少應(yīng)被稱為“貝葉斯-拉普拉斯公式”。

二、 默默無聞200年

貝葉斯公式現(xiàn)在已經(jīng)非常流行，甚至在熱門美劇《生活大爆炸》中謝耳朵也秀了一下。但它真正得到重視和廣泛應(yīng)用卻是最近二三十年的事，其間被埋沒了200多年。這是為什么呢?原因在于我們有另外一種數(shù)學(xué)工具——經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)，或者叫頻率主義統(tǒng)計(jì)學(xué)(我們?cè)趯W(xué)校學(xué)的主要是這種統(tǒng)計(jì)學(xué))，它在200多年的時(shí)間里一直表現(xiàn)不錯(cuò)。從理論上講，它可以揭示一切現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，既不需要構(gòu)建模型，也不需要默認(rèn)條件，只要進(jìn)行足夠多次的測(cè)量，隱藏在數(shù)據(jù)背后的原因就會(huì)自動(dòng)揭開面紗。

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)看來，科學(xué)是關(guān)于客觀事實(shí)的研究，我們只要反復(fù)觀察一個(gè)可重復(fù)的現(xiàn)象，直到積累了足夠多的數(shù)據(jù)，就能從中推斷出有意義的規(guī)律。而貝葉斯方法卻要求科學(xué)家像算命先生一樣，從主觀猜測(cè)出發(fā)，這顯然不符合科學(xué)精神。就連拉普拉斯后來也放棄了貝葉斯方法這一思路，轉(zhuǎn)向經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)。因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)，如果數(shù)據(jù)量足夠大，人們完全可以通過直接研究這些樣本來推斷總體的規(guī)律。

打個(gè)比方來幫助我們理解這兩種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的區(qū)別。假如我們想知道某個(gè)區(qū)域里海拔最低的地方，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法是首先進(jìn)行觀測(cè)，取得區(qū)域內(nèi)不同地方的海拔數(shù)據(jù)，然后從中找出最低點(diǎn)。這個(gè)數(shù)據(jù)量必須足夠多，以反映區(qū)域內(nèi)地形全貌的特征，這樣我們才能相信找到的就是實(shí)際上的最低點(diǎn)。而貝葉斯方法是我不管哪里最低，就憑感覺在區(qū)域內(nèi)隨便選個(gè)地方開始走，每一步都往下走，雖然中間可能有一些曲折，但相信這樣走早晚能夠到達(dá)最低點(diǎn)。可以看出，貝葉斯方法的關(guān)鍵問題是這個(gè)最終到達(dá)的低點(diǎn)可能不是真正的最低點(diǎn)，而是某個(gè)相對(duì)低點(diǎn)，它可能對(duì)該區(qū)域的地形(碗型、馬鞍形等)和最初我們主觀選擇的出發(fā)點(diǎn)有依賴性。如果問題域是碗型的，我們到達(dá)的就是最低點(diǎn);但如果是馬鞍形或者其他復(fù)雜曲面，那么我們到達(dá)的可能是多個(gè)相對(duì)低點(diǎn)(極點(diǎn))中的一個(gè)，而不是真正的最低點(diǎn)。這是貝葉斯方法最受經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法詬病的原因，也是它在過去的200多年被雪藏的原因所在。

貝葉斯方法原理示意圖：

三、 初顯威力

長(zhǎng)期以來，貝葉斯方法雖然沒有得到主流學(xué)界的認(rèn)可，但其實(shí)我們經(jīng)常會(huì)不自覺地應(yīng)用它來進(jìn)行決策，而且還非常有效。比如炮兵在射擊時(shí)會(huì)使用貝葉斯方法進(jìn)行瞄準(zhǔn)。炮彈與子彈不同，它的飛行軌跡是拋物線，瞄準(zhǔn)的難度更大，因此他們會(huì)先根據(jù)計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)把炮管調(diào)整到一個(gè)可能命中的瞄準(zhǔn)角度(先驗(yàn)概率)，然后再根據(jù)炮彈的實(shí)際落點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整(后驗(yàn)概率)，這樣在經(jīng)過2-3次射擊和調(diào)整后炮彈就能夠命中目標(biāo)了。

在日常生活中，我們也常使用貝葉斯方法進(jìn)行決策。比如在一個(gè)陌生的地方找餐館吃飯，因?yàn)橹安涣私饽募也宛^好，似乎只能隨機(jī)選擇，但實(shí)際上并非如此，我們會(huì)根據(jù)貝葉斯方法，利用以往積累的經(jīng)驗(yàn)來提供判斷的線索。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，通常那些坐滿了客人的餐館的食物要更美味些，而那些客人寥寥的餐館，食物可能不怎么樣而且可能會(huì)被宰。這樣，我們就往往通過觀察餐廳的上座率來選擇餐館就餐。這就是我們根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行的主觀判斷。在吃過以后我們對(duì)這個(gè)餐館有了更多實(shí)際的了解，以后再選擇時(shí)就更加容易了。所以說，在我們認(rèn)識(shí)事物不全面的情況下，貝葉斯方法是一種很好的利用經(jīng)驗(yàn)幫助作出更合理判斷的方法。

而兩個(gè)標(biāo)志性的事件在讓學(xué)術(shù)界開始重視貝葉斯方法上起到了重要作用。

1.聯(lián)邦黨人文集作者公案

1787年5月，美國各州(當(dāng)時(shí)為13個(gè))代表在費(fèi)城召開制憲會(huì)議;1787年9月，美國的憲法草案被分發(fā)到各州進(jìn)行討論。一批反對(duì)派以“反聯(lián)邦主義者”為筆名，發(fā)表了大量文章對(duì)該草案提出批評(píng)。憲法起草人之一亞歷山大·漢密爾頓著急了，他找到曾任外交國務(wù)秘書(即后來的國務(wù)卿)的約翰·杰伊，以及紐約市國會(huì)議員麥迪遜，一同以普布利烏斯(Publius)的筆名發(fā)表文章，向公眾解釋為什么美國需要一部憲法。他們走筆如飛，通常在一周之內(nèi)就會(huì)發(fā)表3-4篇新的評(píng)論。1788年，他們所寫的85篇文章結(jié)集出版，這就是美國歷史上著名的《聯(lián)邦黨人文集》。

《聯(lián)邦黨人文集》出版的時(shí)候，漢密爾頓堅(jiān)持匿名發(fā)表，于是，這些文章到底出自誰人之手，成了一樁公案。1810年，漢密爾頓接受了一個(gè)政敵的決斗挑戰(zhàn)，但出于基督徒的宗教信仰，他決意不向?qū)Ψ介_槍。在決斗之前數(shù)日，漢密爾頓自知時(shí)日不多，他列出了一份《聯(lián)邦黨人文集》的作者名單。1818年，麥迪遜又提出了另一份作者名單。這兩份名單并不一致。在85篇文章中，有73篇文章的作者身份較為明確，其余12篇存在爭(zhēng)議。

1955年，哈佛大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教授Fredrick Mosteller找到芝加哥大學(xué)的年輕統(tǒng)計(jì)學(xué)家David Wallance，建議他跟自己一起做一個(gè)小課題，他想用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，鑒定出《聯(lián)邦黨人文集》的作者身份。

但這根本就不是一個(gè)小課題。漢密爾頓和麥迪遜都是文章高手，他們的文風(fēng)非常接近。從已經(jīng)確定作者身份的那部分文本來看，漢密爾頓寫了9.4萬字，麥迪遜寫了11.4萬字。漢密爾頓每個(gè)句子的平均長(zhǎng)度是34.55字，而麥迪遜是34.59字。就寫作風(fēng)格而論，漢密爾頓和麥迪遜簡(jiǎn)直就是一對(duì)雙胞胎。漢密爾頓和麥迪遜寫這些文章，用了大約一年的時(shí)間，而Mosteller和Wallance甄別出作者的身份花了10多年的時(shí)間。

如何分辨兩人寫作風(fēng)格的細(xì)微差別，并據(jù)此判斷每篇文章的作者就是問題的關(guān)鍵。他們所采用的方法就是以貝葉斯公式為核心的包含兩個(gè)類別的分類算法。先挑選一些能夠反映作者寫作風(fēng)格的詞匯，在已經(jīng)確定了作者的文本中，對(duì)這些特征詞匯的出現(xiàn)頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，然后再統(tǒng)計(jì)這些詞匯在那些不確定作者的文本中的出現(xiàn)頻率，從而根據(jù)詞頻的差別推斷其作者歸屬。這其實(shí)和我們現(xiàn)在使用的垃圾郵件過濾器的原理是一樣的。

他們是在沒有計(jì)算機(jī)幫助的條件下用手工處理“大數(shù)據(jù)”，這一工程的耗時(shí)耗力是可想而知的。將近100個(gè)哈佛大學(xué)的學(xué)生幫助他們處理數(shù)據(jù)。學(xué)生們用最原始的方式，用打字機(jī)把《聯(lián)邦黨人文集》的文本打出來，然后把每個(gè)單詞剪下來，按照字母表的順序，把這些單詞分門別類地匯集在一起。有個(gè)學(xué)生干得累了，伸了個(gè)懶腰，長(zhǎng)長(zhǎng)地呼了一口氣。他這一口氣用力太猛，一下子把剛剛歸置好的單詞條吹得如柳絮紛飛，一屋子學(xué)生瞬間石化，估計(jì)很多人連滅了他的心都有。而這只是手工大數(shù)據(jù)時(shí)代的日常。

Mosteller和Wallance這是要在干草垛里找繡花針。他們首先剔除掉用不上的詞匯。比如，《聯(lián)邦黨人文集》里經(jīng)常談到“戰(zhàn)爭(zhēng)”、“立法權(quán)”、“行政權(quán)”等，這些詞匯是因主題而出現(xiàn)，并不反映不同作者的寫作風(fēng)格。只有像“in”，“an”，“of”，“upon”這些介詞、連詞等才能顯示出作者風(fēng)格的微妙差異。一位歷史學(xué)家好心地告訴他們，有一篇1916年的論文提到，漢密爾頓總是用“while”，而麥迪遜則總是用“whilst”。但僅僅有這一個(gè)線索是不夠的。“while”和“whilst”在這12篇作者身份待定的文章里出現(xiàn)的次數(shù)不夠多。況且，漢密爾頓和麥迪遜有時(shí)候會(huì)合寫一篇文章，也保不齊他們會(huì)互相改文章，要是漢密爾頓把麥迪遜的“whilst”都改成了“while”呢?

當(dāng)學(xué)生們把每個(gè)單詞的小紙條歸類、粘好之后，他們發(fā)現(xiàn)，漢密爾頓的文章里平均每一頁紙會(huì)出現(xiàn)兩次“upon”，而麥迪遜幾乎一次也不用。漢密爾頓更喜歡用“enough”，麥迪遜則很少用。其它一些有用的詞匯包括：“there”、“on”等等。1964年，Mosteller和Wallance發(fā)表了他們的研究成果。他們的結(jié)論是，這12篇文章的作者很可能都是麥迪遜。他們最拿不準(zhǔn)的是第55篇，麥迪遜是作者的概率是240：1。

這個(gè)研究引起了極大的轟動(dòng)，但最受震撼的不是憲法研究者，而是統(tǒng)計(jì)學(xué)家。Mosteller和Wallance的研究，把貝葉斯公式這個(gè)被統(tǒng)計(jì)學(xué)界禁錮了200年的幽靈從瓶子中釋放了出來。

2.天蝎號(hào)核潛艇搜救

2014年初馬航MH370航班失聯(lián)，所有人都密切關(guān)注搜救的進(jìn)展情況。那么我們是用什么方法在茫茫大海中尋找失聯(lián)的飛機(jī)或者船只的呢?這要從天蝎號(hào)核潛艇說起。

1968年5月，美國海軍的天蝎號(hào)核潛艇在大西洋亞速海海域突然失蹤，潛艇和艇上的99名海軍官兵全部杳無音信。按照事后調(diào)查報(bào)告的說法，罪魁禍?zhǔn)资沁@艘潛艇上的一枚奇怪的魚雷，發(fā)射出去后竟然敵我不分，扭頭射向自己，讓潛艇中彈爆炸。

為了尋找天蝎號(hào)的位置，美國政府從國內(nèi)調(diào)集了包括多位專家的搜索部隊(duì)前往現(xiàn)場(chǎng)，其中包括一位名叫John Craven的數(shù)學(xué)家，他的頭銜是“美國海軍特別計(jì)劃部首席科學(xué)家”。在搜尋潛艇的問題上，Craven提出的方案使用了上面提到的貝葉斯公式。他召集了數(shù)學(xué)家、潛艇專家、海事搜救等各個(gè)領(lǐng)域的專家。每個(gè)專家都有自己擅長(zhǎng)的領(lǐng)域，但并非通才，沒有專家能準(zhǔn)確估計(jì)到在出事前后潛艇到底發(fā)生了什么。有趣的是，Craven并不是按照慣常的思路要求團(tuán)隊(duì)成員互相協(xié)商尋求一個(gè)共識(shí)，而是讓各位專家編寫了各種可能的“劇本”，讓他們按照自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)于情況會(huì)向哪一個(gè)方向發(fā)展進(jìn)行猜測(cè)，并評(píng)估每種情境出現(xiàn)的可能性。據(jù)說，為了給枯燥的工作增加一些趣味，Craven還準(zhǔn)備了威士忌酒作為“投注”正確的獎(jiǎng)品。

因?yàn)樵贑raven的方案中，結(jié)果很多是這些專家以猜測(cè)、投票甚至可以說賭博的形式得到的，不可能保證所有結(jié)果的準(zhǔn)確性，他的這一做法受到了很多同行的質(zhì)疑。可是因?yàn)樗阉鳚撏У娜蝿?wù)緊迫，沒有時(shí)間進(jìn)行精確的實(shí)驗(yàn)、建立完整可靠的理論，Craven的辦法不失為一個(gè)可行的辦法。

由于失事時(shí)潛艇航行的速度快慢、行駛方向、爆炸沖擊力的大小、爆炸時(shí)潛艇方向舵的指向都是未知量，即使知道潛艇在哪里爆炸，也很難確定潛艇殘骸最后被海水沖到哪里。Craven粗略估計(jì)了一下，半徑20英里的圓圈內(nèi)的數(shù)千英尺深的海底，都是天蝎號(hào)核潛艇可能沉睡的地方，要在這么大的范圍，這么深的海底找到潛艇幾乎成了不可能完成的任務(wù)。

Craven把各位專家的意見綜合到一起，得到了一張20英里海域的概率圖。整個(gè)海域被劃分成了很多個(gè)小格子，每個(gè)小格子有兩個(gè)概率值p和q，p是潛艇躺在這個(gè)格子里的概率，q是如果潛艇在這個(gè)格子里，它被搜索到的概率。按照經(jīng)驗(yàn)，第二個(gè)概率值主要跟海域的水深有關(guān)，在深海區(qū)域搜索失事潛艇的“漏網(wǎng)”可能性會(huì)更大。如果一個(gè)格子被搜索后，沒有發(fā)現(xiàn)潛艇的蹤跡，那么按照貝葉斯公式，這個(gè)格子潛艇存在的概率就會(huì)降低：

由于所有格子概率的總和是1，這時(shí)其他格子潛艇存在的概率值就會(huì)上升：

每次尋找時(shí)，先挑選整個(gè)區(qū)域內(nèi)潛艇存在概率值最高的一個(gè)格子進(jìn)行搜索，如果沒有發(fā)現(xiàn)，概率分布圖會(huì)被“洗牌”一次，搜尋船只就會(huì)駛向新的“最可疑格子”進(jìn)行搜索，這樣一直下去，直到找到天蝎號(hào)為止。

最初開始搜救時(shí)，海軍人員對(duì)Craven和其團(tuán)隊(duì)的建議嗤之以鼻，他們憑經(jīng)驗(yàn)估計(jì)潛艇是在爆炸點(diǎn)的東側(cè)海底。但幾個(gè)月的搜索一無所獲，他們才不得不聽從了Craven的建議，按照概率圖在爆炸點(diǎn)的西側(cè)尋找。經(jīng)過幾次搜索，潛艇果然在爆炸點(diǎn)西南方的海底被找到了。

由于這種基于貝葉斯公式的方法在后來多次搜救實(shí)踐中被成功應(yīng)用，現(xiàn)在已經(jīng)成為海難空難搜救的通行做法。

2009年法航空難搜救的后驗(yàn)概率分布圖：

2014馬航MH370失聯(lián)搜索區(qū)域：

與計(jì)算機(jī)的結(jié)合使貝葉斯公式巨大的實(shí)用價(jià)值進(jìn)一步體現(xiàn)出來，它不但為我們提供了一條全新的問題解決路徑，帶來工具和理念的革命，而且甚至可能是人類大腦本身的認(rèn)知和構(gòu)建方式。

好了，關(guān)于貝葉斯公式的內(nèi)容今天就講到這里，接下來我們將會(huì)講講正在發(fā)生的“貝葉斯革命”。