C++數據結構學習之稀疏矩陣
C++數據結構中，先說說什么叫稀疏矩陣。你說，這個問題很簡單嗎，那你一定不知道中國學術界的嘴皮子仗，對一個字眼的“摳”將會導致兩種相反的結論。這是清華2000年的一道考研題：“表示一個有1000個頂點，1000條邊的有向圖的鄰接矩陣有多少個矩陣元素?是否稀疏矩陣?”如果你是個喜歡研究出題者心理活動的人，你可以看出這里有兩個陷阱，就是讓明明會的人答錯，我不想說出是什么，留給讀者思考。姑且不論清華給的標準答案是什么，那年的參考書是嚴蔚敏的《數據結構(C語言版)》，書上對于稀疏矩陣的定義是這樣的：“非零元較零元少(注：原書下文給出了大致的程度)，且分布沒有一定規律”，照這個說法，那題的答案應該是不一定是稀疏矩陣，因為可能是特殊矩陣(非零元分布有規律)。
自從2002年換參考書后，很多概念都發生了變化，最明顯的是從多少開始計數(0還是1)，從而導致的是空樹的高度變成了-1，只有一個根節點的樹高度是0。很不幸的是樹高的問題幾乎年年都考，在你下筆的時候，總是犯點嘀咕，總不是一朝天子一朝臣吧，會不會答案是個兼容版本?然后，新參考書帶的習題集里引用了那道考研題，答案是是稀疏矩陣。你也許會驚訝這年頭咸魚都會游泳了，但這個答案和書并不矛盾，因為在這本黃皮書里，根本就沒有什么特殊矩陣，自然就一定是稀疏矩陣了。
其實，這兩本書在這個問題上也沒什么原則上的問題，C版的是從數據結構實現區分出特殊矩陣和稀疏矩陣，畢竟他們實現起來很不相同;新書一股腦把非零元少的矩陣都當成稀疏矩陣，當你按照這種思路做的時候就會發現，各種結構特殊的非零元很少的矩陣，如果用十字鏈表來儲存的話，比考慮到它的特殊結構得出的特有儲存方法，僅僅是浪費了幾個表頭節點和一些指針域，再有就是一些運算效率的降低。從我個人角度講，我更喜歡多一些統一，少一些特別，即使犧牲一點效率;所以在這一點上我贊同新參考書的做法。而在計數起點上，我更喜歡原來的做法;畢竟，研究數據結構要考慮人的思考習慣，而不是計算機喜歡什么;你非得說表中的***個元素是第0個，空樹的高是-1，怎么不讓人心里起疙瘩。數據結構是人們構造算法時思維和計算機實現的橋梁、中介，它應該符合人的思考習慣，即使在它實現的時候內部做了某些轉換。開始廢話了這么多，希望沒打消了你往下看的心情，好，言歸正傳。
這里的十字鏈表是這樣構成的：用鏈表模擬矩陣的行(或者列，這可以根據個人喜好來定)，然后，再構造代表列的鏈表，將每一行中的元素節點插入到對應的列中去。書中為了少存幾個表頭節點，將行和列的表頭節點合并到了一起——實際只是省了幾個指針域，如果行和列數不等，多余的數據域就把這點省出的空間又給用了。這點小動作讓我著實廢了半天勁，個人感覺，優點不大，缺點不少，不如老老實實寫得象個十字鏈表，讓人也好看一些，這是教科書，目的是教學。實在看得暈的人，參閱C版的這部分內容，很清晰。我也不會畫圖，打個比方吧：這個十字鏈表的邏輯結構就像是一個圍棋盤(沒見過，你就想一下蒼蠅拍，這個總見過吧)，而非零元就好像是在棋盤上放的棋子，總共占的空間就是，確定那些線的表頭節點和那些棋子代表的非零元節點。***，我們用一個指針指向這個棋盤，這個指針就代表了這個稀疏矩陣。
現在，讓我們看看非零元節點最少需要哪幾個域，data必須的，down、right把線畫下去，好像不需要別的了。再看看表頭節點，由于是鏈表的表頭節點，所以就和后邊的節點一樣了。然后，行鏈表和列鏈表的表頭節點實際上也各構成了一個鏈表，我們給他們添加一個公有的表頭節點。***，通過指向這個行列鏈表表頭構成的鏈表的公有的表頭節點的指針，我們就可以訪問稀疏矩陣了。
好像和書上的不一樣——非零元節點沒了指示位置的I、j，實際上，對于確定非零元在矩陣中的位置，I、j不是必須的，看著圍棋盤你就會很清楚。但是很不幸，不是把他們存起來就萬事大吉了，最起碼，必須考慮加法和乘法的效率，請你想想如果用上面的那種結構，如何完成。
如果你細想想，就會發現，非零元節點如果沒有指示位置的域，那么做加法和乘法時，為了確定節點的位置，每次都要遍歷行和列的鏈表。因此，為了運算效率，這個域是必須的。為了看出十字鏈表和單鏈表的差異，我從單鏈表派生出十字鏈表，這需要先定義一種新的結構，如下：
- class MatNode
- {
- public:
- int data;
- int row, col;
- union { Node<MatNode＞ *down; List<MatNode＞ *downrow; };
- };
另外，由于這樣的十字鏈表是由多條單鏈表拼起來的，為了訪問每條單鏈表的保護成員，要聲明十字鏈表類為單鏈表類的友元。即在class List的聲明中添加friend class Matrix;
#p#
稀疏矩陣的定義和實現
- #ifndef Matrix_H
- #define Matrix_H
- #include "List.h"
- class MatNode
- {
- public:
- int data;
- int row, col;
- union { Node<MatNode＞ *down; List<MatNode＞ *downrow; };
- MatNode(int value = 0, Node<MatNode＞ *p = NULL, int i = 0, int j = 0)
- : data(value), down(p), row(i), col(j) {}
- friend ostream & operator << (ostream & strm, MatNode &mtn)
- {
- strm << '(' << mtn.row << ',' << mtn.col << ')' << mtn.data;
- return strm;
- }
- };
- class Matrix : List<MatNode＞
- {
- public:
- Matrix() : row(0), col(0), num(0) {}
- Matrix(int row, int col, int num) : row(row), col(col), num(num) {}
- ~Matrix() { MakeEmpty(); }
- void MakeEmpty()
- {
- List<MatNode＞ *q;
- while (first-＞data.downrow != NULL)
- {
- q = first-＞data.downrow;
- first-＞data.downrow = q-＞first-＞data.downrow;
- delete q;
- }
- List<MatNode＞::MakeEmpty();
- row = col = num = 0;
- }
- void Input()
- {
- if (!row) { cout << "輸入矩陣行數："; cin ＞＞ row; }
- if (!col) { cout << "輸入矩陣列數："; cin ＞＞ col; }
- if (!num) { cout << "輸入非零個數："; cin ＞＞ num; }
- if (!row || !col || !num) return;
- cout << endl << "請按順序輸入各個非零元素，以列序為主，輸入0表示本列結束" << endl;
- int i, j, k, v;//i行數 j列數 k個非零元 v非零值
- Node<MatNode＞ *p = first, *t;
- List<MatNode＞ *q;
- for (j = 1; j <= col; j++) LastInsert(MatNode(0, NULL, 0, j));
- for (i = 1; i <= row; i++)
- {
- q = new List<MatNode＞;
- q-＞first-＞data.row = i;
- p-＞data.downrow = q;
- p = q-＞first;
- }
- j = 1; q = first-＞data.downrow; First(); t = pNext();
- for (k = 0; k < num; k++)
- {
- if (j ＞ col) break;
- cout << endl << "輸入第" << j << "列非零元素" << endl;
- cout << "行數："; cin ＞＞ i;
- if (i < 1 || i ＞ row) { j++; k--; q = first-＞data.downrow; t = pNext(); continue; }
- cout << "非零元素值"; cin ＞＞ v;
- if (!v) { k--; continue; }
- MatNode matnode(v, NULL, i, j);
- p = new Node<MatNode＞(matnode);
- t-＞data.down = p; t = p;
- while (q-＞first-＞data.row != i) q = q-＞first-＞data.downrow;
- q-＞LastInsert(t);
- }
- }
- void Print()
- {
- List<MatNode＞ *q = first-＞data.downrow;
- cout << endl;
- while (q != NULL)
- {
- cout << *q;
- q = q-＞first-＞data.downrow;
- }
- }
- Matrix & Add(Matrix &matB)
- {
- //初始化賦值輔助變量
- if (row != matB.row || col != matB.col || matB.num == 0) return *this;
- Node<MatNode＞ *pA, *pB;
- Node<MatNode＞ **pAT = new Node<MatNode＞*[col + 1];
- Node<MatNode＞ **pBT = new Node<MatNode＞*[matB.col + 1];
- List<MatNode＞ *qA = pGetFirst()-＞data.downrow, *qB = matB.pGetFirst()-＞data.downrow;
- First(); matB.First();
- for (int j = 1; j <= col; j++)
- {
- pAT[j] = pNext();
- pBT[j] = matB.pNext();
- }
- //開始
- for (int i = 1; i <= row; i++)
- {
- qA-＞First(); qB-＞First();
- pA = qA-＞pNext(); pB = qB-＞pNext();
- while (pA != NULL && pB !=NULL)
- {
- if (pA-＞data.col == pB-＞data.col)
- {
- pA-＞data.data += pB-＞data.data;
- pBT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB-＞data.down; qB-＞Remove();
- if (!pA-＞data.data)
- {
- pAT[pA-＞data.col]-＞data.down = pA-＞data.down;
- qA-＞Remove();
- }
- else
- {
- pAT[pA-＞data.col] = pA;
- qA-＞pNext();
- }
- }
- else
- {
- if (pA-＞data.col ＞ pB-＞data.col)
- {
- pBT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB-＞data.down;
- qB-＞pRemove();
- pB-＞data.down = pAT[pB-＞data.col]-＞data.down;
- pAT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB;
- pAT[pB-＞data.col] = pB;
- qA-＞InsertBefore(pB);
- }
- else if (pA-＞data.col < pB-＞data.col)
- {
- pAT[pA-＞data.col] = pA;
- qA-＞pNext();
- }
- }
- pA = qA-＞pGet();pB = qB-＞pGet();
- }
- if (pA == NULL && pB != NULL)
- {
- qA-＞pGetPrior()-＞link = pB;
- qB-＞pGetPrior()-＞link = NULL;
- while (pB != NULL)
- {
- pBT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB-＞data.down;
- pB-＞data.down = pAT[pB-＞data.col]-＞data.down;
- pAT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB;
- pAT[pB-＞data.col] = pB;
- pB = pB-＞link;
- }
- }
- if (pA !=NULL)
- {
- while (qA-＞pGet() != NULL)
- {
- pAT[pA-＞data.col] = pA;
- qA-＞pNext();
- }
- }
- qA = qA-＞first-＞data.downrow; qB = qB-＞first-＞data.downrow;
- }
- delete []pAT; delete []pBT;
- return *this;
- }
- private:
- int row, col, num;
- };
- #endif
【說明】對于十字鏈表來說，只要記住對每個節點的操作，要同時考慮它的兩個指針域，那么，各種算法的理解都不是很難。比如說矩陣加法，“兩個矩陣相加和兩個一元多項式相加極為相似，所不同的是一元多項式只有一個變元(指數項)，而矩陣中每個非零元有兩個變元(行值和列值)，每個節點既在行表中又在列表中，致使插入和刪除節點時指針的修改稍為復雜，故需要更多的輔助指針。”(《數據結構(C語言版)》)其實private的row等可以放在首行的頭節點里的，但為了清晰一點(本來就夠亂了)，我把他們單立出來了。另外，很多地方考慮不是很周全，要是不按照注明的要求使用，很容易就會出錯。
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