繼上次盤點《數(shù)據(jù)科學家95%的時間都在使用的11個基本圖表》之后，今天將為大家?guī)頂?shù)據(jù)科學家95%的時間都在使用的11個基本分布。掌握這些分布，有助于我們更深入地理解數(shù)據(jù)的本質(zhì)，并在數(shù)據(jù)分析和決策過程中做出更準確的推斷和預測。

1. 正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal  Distribution），也被稱為高斯分布（Gaussian  Distribution），是一種連續(xù)型概率分布。它具有一個對稱的鐘形曲線，以均值（μ）為中心，標準差（σ）為寬度。正態(tài)分布在統(tǒng)計學、概率論、工程學等多個領(lǐng)域具有重要的應用價值。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

其中，μ是均值，σ是標準差。概率密度函數(shù)表示在給定值x附近，單位區(qū)間內(nèi)正態(tài)分布的隨機變量取值的概率密度。

正態(tài)分布在實際中的應用：例如人的身高和體重分布近似于正態(tài)分布；考試成績通常呈正態(tài)分布，高分和低分的人數(shù)較少，中間分數(shù)的人數(shù)較多。

2. 伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli  Distribution）是一種離散型概率分布，用于描述只有兩種可能結(jié)果的單次隨機試驗。伯努利試驗可以是正面或反面，成功或失敗，是或否等。例如，拋硬幣、檢測產(chǎn)品是否合格、某人是否購買某種產(chǎn)品等。

伯努利分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

其中，p是成功的概率，取值范圍在0和1之間。當p=0.5時，伯努利分布趨近于均勻分布。

伯努利分布在實際中的應用：例如二項分布就是伯努利分布的n次獨立重復試驗。

3. 二項分布

二項分布（Binomial Distribution）是一種離散型概率分布，用于描述在n次獨立重復試驗中成功次數(shù)的概率分布。每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功（記為1）或失敗（記為0）。成功的概率為p，失敗的概率為1-p。

二項分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

其中，P(X=k)表示成功次數(shù)為k的概率，是組合數(shù)，表示從n次試驗中選擇k次成功的組合數(shù)。p是成功的概率，取值范圍在0和1之間。n是試驗次數(shù)。

二項分布在實際中的應用：如在醫(yī)學研究中，患者接受某種治療的成功率；在工程中，產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中的合格率等。

4. 泊松分布

泊松分布（Poisson Distribution）是一種離散型概率分布，用于描述在固定時間內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。泊松分布適用于那些事件相互獨立，且平均發(fā)生速率恒定的情況。

泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

其中，P(X=k)表示在固定時間內(nèi)事件發(fā)生k次的概率，λ表示事件的平均發(fā)生速率，即在單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。e是自然常數(shù)，約為2.718。k是事件發(fā)生的次數(shù)。

泊松分布在實際中的應用：例如在電話呼叫中心，每分鐘打進的電話數(shù)量可以看作是泊松分布，平均每分鐘打進的電話數(shù)量即為λ。

5. 指數(shù)分布

指數(shù)分布（Exponential  Distribution）是一種連續(xù)型概率分布，用于描述在固定時間內(nèi)，事件發(fā)生的概率。指數(shù)分布適用于那些事件相互獨立，且平均發(fā)生速率恒定的情況。

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為：

其中，f(x,λ)表示在給定時間x內(nèi)事件發(fā)生的概率密度。λ表示事件的平均發(fā)生速率，即在單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。e是自然常數(shù)，約為2.718。

指數(shù)分布在實際中的應用：放射性衰變中，放射性原子核衰變的時間可以看作是指數(shù)分布，平均衰變時間即為λ。

6. 伽瑪分布

伽瑪分布（Gamma  Distribution）是一種連續(xù)型概率分布，用于描述在給定時間內(nèi)，事件發(fā)生的概率。伽瑪分布適用于那些事件相互獨立，且平均發(fā)生速率恒定的情況。

伽瑪分布的概率密度函數(shù)為：

其中，f(x)表示在給定時間x內(nèi)事件發(fā)生的概率密度。α和β分別表示形狀參數(shù)和速率參數(shù)。α決定了伽瑪分布的形狀，取值范圍為0到正無窮。β表示事件的平均發(fā)生速率，即在單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)，取值范圍為0到正無窮。e是自然常數(shù)，約為2.718。

伽瑪分布在實際中的應用：例如放射性衰變：在放射性衰變中，放射性原子核衰變的時間可以看作是伽瑪分布，平均衰變時間即為β/α。

7. 貝塔分布

貝塔分布（Beta  distribution）是一種連續(xù)型概率分布，用于描述一組數(shù)值中成功次數(shù)的概率分布。它具有兩個參數(shù)，分別表示成功概率的期望值（mean）和標準差（standard  deviation）。

貝塔分布的概率密度函數(shù)如下：

其中，x表示成功的次數(shù)，α和β分別表示分布的形狀參數(shù)。

貝塔分布在許多實際問題中都有應用，例如，在基因編輯中，研究人員可能會使用貝塔分布來預測基因編輯技術(shù)成功編輯某個目標位點的概率。在金融領(lǐng)域，貝塔分布可以用于描述資產(chǎn)價格的波動性，或者用于計算投資組合的預期收益。

8. 均勻分布

均勻分布是一種概率分布，用于描述一組數(shù)值在某個區(qū)間內(nèi)均勻地分布。均勻分布有兩種類型：離散均勻分布和連續(xù)均勻分布。

離散均勻分布：如果一個離散隨機變量X具有以下概率分布：P(X=k)  =  k/(n+1)，其中k為非負整數(shù)，n為區(qū)間內(nèi)的整數(shù)，那么稱X服從離散均勻分布。連續(xù)均勻分布：如果一個連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)  =  1/(b-a)!

均勻分布的特點是，在給定的區(qū)間內(nèi)，每個數(shù)值都有相同的機會出現(xiàn)。例如，拋一枚公正的硬幣，正面和反面出現(xiàn)的概率都是1/2，這就是一種均勻分布。

9. 對數(shù)正態(tài)分布

對數(shù)正態(tài)分布（Log-normal  distribution）是一種連續(xù)型概率分布，它的特點是隨機變量的對數(shù)服從正態(tài)分布。換句話說，如果一個隨機變量X的對數(shù)ln(X)服從正態(tài)分布，那么這個隨機變量X就服從對數(shù)正態(tài)分布。

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

其中，μ是對數(shù)正態(tài)分布的均值，σ是對數(shù)正態(tài)分布的標準差。

對數(shù)正態(tài)分布在許多實際應用中都有重要意義，例如金融領(lǐng)域（股票價格、收益率等）、生物學（生長速率等）、經(jīng)濟學（消費支出等）等。

10. T分布

T分布，是一種連續(xù)型概率分布，主要用于小樣本情況下描述均值的分布。t分布與正態(tài)分布（Normal  distribution）類似，但它的尾部可以向左右延伸，取決于自由度（k）的大小。t分布廣泛應用于統(tǒng)計推斷，例如在假設(shè)檢驗中用于評估樣本均值與總體均值之間的顯著性差異。

t分布的期望和方差如下：

E(t)=0

Var(t)=k/(k-1)

t分布的自由度（k）表示的是樣本size（n）與總體標準差之間的關(guān)系。當  k  > 30時，t分布接近正態(tài)分布；當k接近1時，t分布變?yōu)榭挛鞣植迹–auchy  distribution）。

在實際應用中，當樣本量較大（n>30）時，可以使用正態(tài)分布來進行假設(shè)檢驗，此時可以使用z統(tǒng)計量構(gòu)建置信區(qū)間。而當樣本量較小（n<30）時，由于正態(tài)分布的假設(shè)不滿足，需要使用t分布來進行檢驗。通過t分布，可以更準確地評估樣本均值與總體均值之間的差異，從而做出合理的決策。

11. Weibull分布

Weibull分布（Weibull distribution）是一種連續(xù)型概率分布。

Weibull分布的概率密度函數(shù)為：

其中， x是隨機變量，λ是比例參數(shù)（scale），k是形狀參數(shù)（shape），當 k = 1時，韋伯分布是指數(shù)分布。而如果λ=1時，則稱為最小化的韋伯分布。