Python實現之導數
作者： 一只小小鳥鳥
導數(Derivative)，也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。
本文轉載自微信公眾號「python與大數據分析」，作者一只小小鳥鳥 。轉載本文請聯系python與大數據分析公眾號。
導數(Derivative)，也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。
不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。
切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。更準確地說，當切線經過曲線上的某點(即切點)時，切線的方向與曲線上該點的方向是相同的。平面幾何中，將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線。
法線(normal line)，是指始終垂直于某平面的直線。在幾何學中，法線指平面上垂直于曲線在某點的切線的一條線。法線也應用于光學的平面鏡反射上。
- #!/usr/bin/env python
- # -*- coding: UTF-8 -*-
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- '''
- @Project ：pythonalgorithms
- @File ：derivatives.py
- @Author ：不勝人生一場醉@Date ：2021/8/1 0:17
- '''
- import matplotlib.pyplot as plt
- import numpy as np
- import math
- import sympy
- import mpl_toolkits.axisartist as axisartist # 導入坐標軸加工模塊
- if __name__ == '__main__':
- quadraticderivativeplot()
- exponentialderivativeplot()
- arccscderivativeplot()
- # 導數（Derivative），也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。
- # 當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。
- # 不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。
- # 若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
- def quadraticderivativeplot():
- plt.figure(figsize=(5, 12))
- ax = plt.gca() # 通過gca:get current axis得到當前軸
- plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 繪圖中文
- plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 繪圖負號
- x = np.linspace(-2, 2, 200)
- y = x ** 2
- label = '函數=x**2的曲線'
- plt.plot(x, y, label=label)
- yd = 2 * x
- label = '導數線=2*x的曲線'
- plt.plot(x, yd, label=label)
- a = 1
- ad = a ** 2
- plt.plot(a, ad, 'og', label='x=1的某個點')
- # y=ax+b,已知a=2,x=1,y=1，求b
- b = ad - 2 * a
- # 準備畫切線的數據
- al = np.linspace(-2, 2, 200)
- yl = 2 * al + b
- label = 'x=1的切線'
- plt.plot(al, yl, label=label)
- # 準備畫法線的數據，切線斜率=法線斜率的負數
- b = ad + 2 * a
- al = np.linspace(-2, 2, 200)
- yl = -2 * al + b
- label = 'x=1的法線'
- plt.plot(al, yl, label=label)
- # 求導函數
- x = sympy.Symbol('x')
- f1 = x ** 2
- # 參數是函數與變量
- f1_ = sympy.diff(f1, x)
- print(f1_)
- # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示
- ax.spines['right'].set_color('none')
- ax.spines['top'].set_color('none')
- # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置
- # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置
- ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
- # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置
- # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
- ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
- plt.title("二次函數、導數曲線及某點的法線、切線")
- plt.legend(loc='upper right')
- plt.show()
- # 指數函數的導數
- # 指數函數 y=a**x
- # 指數函數的導數為 y=a**x*ln(a)
- def exponentialderivativeplot():
- plt.figure(figsize=(5, 12))
- ax = plt.gca() # 通過gca:get current axis得到當前軸
- plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 繪圖中文
- plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 繪圖負號
- a = 2
- x = np.linspace(-2, 2, 200)
- y = np.power(a, x)
- yd = np.power(a, x) * np.log(a)
- label = '函數=a**x的曲線'
- plt.plot(x, y, label=label)
- label = '導數線=a**x的曲線'
- plt.plot(x, yd, label=label)
- xpoint = 1
- ypoint = np.power(a, xpoint)
- plt.plot(xpoint, ypoint, 'og', label='x=1的某個點')
- # 斜率slope=導數，求截距intercept
- slope = math.pow(a, xpoint) * math.log(a, np.e)
- # y=ax+b,已知a,x,y，求b
- intercept = ypoint - slope * xpoint
- # 準備畫切線的數據
- yl = x * slope + intercept
- # print(slope,intercept,yl)
- label = 'x=1的切線'
- plt.plot(x, yl, label=label)
- # 準備畫法線的數據，切線斜率=法線斜率的負數
- # y=ax+b,已知x,y,-a,求b
- intercept = ypoint + slope * xpoint
- yl = -x * slope + intercept
- label = 'x=1的法線'
- plt.plot(x, yl, label=label)
- # # 求導函數
- # x = sympy.Symbol('x')
- # f1 = x**2
- # # 參數是函數與變量
- # f1_ = sympy.diff(f1, x)
- # print(f1_)
- # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示
- ax.spines['right'].set_color('none')
- ax.spines['top'].set_color('none')
- # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置
- # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置
- ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
- # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置
- # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
- ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
- plt.title("指數函數、導數曲線及某點的法線、切線")
- plt.legend(loc='upper right')
- plt.show()
- # 常用導數公式表如下：#
- # c'=0(c為常數）
- # (x^a)'=ax^(a-1),a為常數且a≠0
- # (a^x)'=a^xlna
- # (e^x)'=e^x#
- # (logax)'=1/(xlna),a>0且 a≠1
- # (lnx)'=1/x
- # (sinx)'=cosx
- # (cosx)'=-sinx
- # (tanx)'=(secx)^2
- # (secx)'=secxtanx
- # (cotx)'=-(cscx)^2
- # (cscx)'=-csxcotx
- # (arcsinx)'=1/√(1-x^2)
- # (arccosx)'=-1/√(1-x^2)
- # (arctanx)'=1/(1+x^2)
- # (arccotx)'=-1/(1+x^2)
- # arcsinx函數的導數
- # arcsinx函數
- # arcsinx函數的導數為 1/√(1-x^2)
- def arccscderivativeplot():
- plt.figure(figsize=(10, 5))
- ax = plt.gca() # 通過gca:get current axis得到當前軸
- plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 繪圖中文
- plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 繪圖負號
- x = np.append(np.linspace(0.01, np.pi / 2 - 0.01, 120),
- np.linspace(np.pi / 2 + 0.01, np.pi - 0.01, 120))
- y = 1 / np.cos(x)
- # 正割函數 sec(x)=1/cos(x)
- # 反正割函數 顛倒x,y值即可
- label = '函數為np.arcsecx(x)的曲線'
- plt.plot(y, x, label=label)
- x = np.linspace(-0.99, 0.99, 120)
- yd = 1 / np.sqrt(1 - np.power(x, 2))
- label = '導數線為np.arcsecx(x)的曲線'
- plt.plot(x, yd, label=label)
- # 設置圖片的右邊框和上邊框為不顯示
- ax.spines['right'].set_color('none')
- ax.spines['top'].set_color('none')
- # 挪動x，y軸的位置，也就是圖片下邊框和左邊框的位置
- # data表示通過值來設置x軸的位置，將x軸綁定在y=0的位置
- ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
- # axes表示以百分比的形式設置軸的位置，即將y軸綁定在x軸50%的位置
- # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
- ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
- plt.title("arcsin函數、導數曲線")
- plt.legend(loc='upper right')
- plt.show()
責任編輯：武曉燕
來源：
python與大數據分析
